§11.3多值函数的积分 811.3多值函数的积分 准确地说,这里所说的多值函数的积分是从复变函数的角度说的.从复数域来看,实变定积分中 的积分变量x在x>0时应该理解为argx=0 种常见的多值函数积分是 rs- Q()dr, 其中s为实数,Q(x)单值,在正实轴上没有奇点。为了保证积分收敛,要求 limr. rs-iQ()dr= lim r" Q(a)=0 考虑相应的复变积分5c2"-1Q(2)dz 由于z=0及z=∞是被积函数的枝点,所以需要将 平面沿正实轴割开,并规定沿割线上岸argz=0 时的积分路径由割开的大小圆弧(半径分别为R和δ) 及割线上下岸组成(见图113).沿割线上下岸的积 显然直接与所要计算的实变积分有关.问题是如何计 算沿大小圆弧的积分值 rs-iQ()dx+/x-Q(z)d Q()dx+ 2s-1Q(2)dz 图11.3 由引理31和引理32可以看出,如果在0≤argx≤2x的范围内 in2Q(2)=0, lim z Q(2)=0, 则 更进一步,如果Q(x)在全平面上除了有限个孤立奇点(不在正实轴上)外,是单值解析的,因而可 以应用留数定理.在取极限δ→0,R→∞后,就得到 Q(r)dr=2Ti 2 res(= -Q(2)) 全平面 所以 anTi r-Q()dx m∑res{2-Q2)}Wu Chong-shi §11.3 ➐➑➒➓➔→➣ ↔ 6 ↕ §11.3 ➙➛✤✥✦✩✪ ✲t ➥➈ ❉✫✺❮ ➈ ✰➜ ➱ ③④✰✮✯✇❙❁❂③④✰➝➞➈ ✰ ✿ ❙❁④⑨ ➉ ➌❉➎❂✭✮✯ ➫ ✰✮✯❂➟ x ⑨ x > 0 ➡✻✾Ô ⑩⑥ arg x = 0 ✿ ➢ ❹✮❒✰➜ ➱ ③④✮✯✇ I = Z ∞ 0 x s−1Q(x)dx, ➩ ➫ s ⑥➎④❉ Q(x) ó➱ ❉⑨s➎➆⑩➠❻❾❿✿ ⑥Ð➡➹✮✯➢➤❉➅➓ limx→∞ x · x s−1Q(x)dx = limx→∞ x sQ(x) = 0. ✿❀￾✻✰❁❂✮✯ H C z s−1Q(z)dz ✿ ①✐ z = 0 ➥ z = ∞ P◗❇❘❙❆➦❵❉➧ ●➨❤② ➩ ✘➫➭ ☎☛➯✑❉✇➲➳➫➯➵☞➸ arg z = 0 ✿❂ ❥ ❆❇❈❝❞ ①➯✑❆➺✐ ❑❥ (❏❞❈➻❩ R ➼ δ) ➥➯➵☞✗➸➽✔ (➾ ➚ 11.3) ✿➫➯➵☞✗➸❆❇❈ ➪➶♦♣➹➧❤qr❆ ☎✆❇❈❡ ➘✿➴➷P✂➬q r➫➺✐ ❑❥❆❇❈♠✿ I C z s−1Q(z)dz = Z R δ x s−1Q(x)dx + Z CR z s−1Q(z)dz + Z δ R ￾ xe i2π
s−1 Q(x)dx + Z Cδ z s−1Q(z)dz. ❰ 11.3 ✃ÓÔ 3.1 ➐ ÓÔ 3.2 ✵✶➌➊❉ ⑦⑧⑨ 0 ≤ arg z ≤ 2π ✰➞ ➟❹❉ lim z→0 z sQ(z) = 0, limz→∞ z sQ(z) = 0, ➀ lim δ→0 Z Cδ z s−1Q(z)dz = 0, lim R→∞ Z CR z s−1Q(z)dz = 0. ❽➮➢➱ ❉ ⑦⑧ Q(z) ⑨✃❷❸⑩❐Ð❻❼❽❒❮❾❿ (✻⑨s➎➆⑩) ❰ ❉✇ó➱ ⑩❶✰❉æ❱✵ ✶✻✼ ✽④✭Ô✿⑨⑤ò❼ δ → 0, R → ∞ Ï ❉➒➔ã ￾ 1 − e i2πs
Z ∞ 0 x s−1Q(x)dx = 2π i X Ð➃➄ res  z s−1Q(z) . ❮✶ Z ∞ 0 x s−1Q(x)dx = 2π i 1 − e i2πs X Ð➃➄ res  z s−1Q(z)