第四章重积分 其中ξ在B(y)与B(y+4y)之间,由B(y)的可微性及f(x,y)的连 续性可得 2(y0)=f(B(0,y0)B() 同理可得 3()=f(a(y),y)a(y), 本定理得证 上式通常称为莱布尼兹公式,这个公式也可以利用复合函数求导的方 法证明,这时将含变量积分看成是J(y2v)=f(x,y)x与 l=a(y),v=B(y)的复合。 可积性定理设f(x,y)在矩形域D:[×[cd上连续,则 dy f(, y)dx=dx f(x, y)dy 证明取d=7作变量,即考虑函数 F()=df(x和E()=广d『fx,y F()= f∫(x,y)dh f(x, ndx Fl(n- d dn r('r(x, yd y dr =5(/(ex, ). ar f(x, n)dx 则F2(n)=F1()+C 又由F2(c)=F(c)=0→F2(7)=F( 本定理得证。 表示在∫(x,y)连续的条件下,其对x,对y的积分次序可交换,这个 性质也称为积分号下求积分。 以上我们讨论了由含参积分表示的函数的一些分析性质,下面利用这 性质,计算一些积分。 例1计算l(a)=「ma2-sn2x)tx,其中a>1。 第五节含参变量的积分 6第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 6 其中  在 ( y ) 0 与 ( y y) 0 +  之间, 由 ( y) 的可微性及 f (x, y) 的连 续性可得 I  y = f ( y y )  y 2 0 0 0 0 ( ) ( ),  ( ) . 同理可得 I  y = f ( y y )  y 3 0 0 0 0 ( ) ( ),  ( ) , 本定理得证。 上式通常称为莱布尼兹公式, 这个公式也可以利用复合函数求导的方 法证明 , 这 时 将 含 变 量 积 分 看 成 是 J y u v f x y dx u v ( , , ) = ( , )  与 u = ( y), v = ( y) 的复合。 ⚫ 可积性定理 设 f (x, y) 在矩形域 D : a,b c,d 上连续, 则 c d a b a b c d dy f x y dx dx f x y dy     ( , ) = ( , ) . 证明 取 d = 作变量, 即考虑函数 F ( ) dy f x y dx b c a ( , ) 1   =   和 F ( ) dy f x y dx c b a ( , ) 2   =   ( ) f x y dx dy f x dx d d F b c a b  a   =       = ( , ) ( , ) 1     ; ( )             =       = b a c b a c f x y dy dx f x y dy dx d d F      ( , ) ( , ) 2 =  b a f (x,)dx 则 F2 () = F1 ()+C , 又由 F2 (c) = F1 (c) = 0  () () F2 = F1 。 本定理得证。 表示在 f (x, y) 连续的条件下, 其对 x , 对 y 的积分次序可交换, 这个 性质也称为积分号下求积分。 以上我们讨论了由含参积分表示的函数的一些分析性质, 下面利用这 些性质, 计算一些积分。 例 1 计算  = − 2 0 2 2 ( ) ln( sin )  I a a x dx , 其中 a 1