第四章重积分 I(y)=m(o+Ay)-1(0) dy =mnJf"(x,y0+的y) L lim /'(x, yo+OAy)dx= f(x, yo)dx Av→0 这表明,若f(x,y)满足定理的条件,则由含参积分(x,y)定义 的函数I(y)在(c,d)内可微,且对参变量y的求导与对x的积分运算可变换 顺序,这个性质也称为积分号下求微商 可导性定理(2)设 (x,y)及,(x,y)在D:[b×小上连续 (i)a(y,B)在[c:d]上可微,且y∈[e4]时,满足asa(y)≤b ≤B(y)≤b dy Ja(yy/(r,y)dx=[) d rB(r) atn jy(x,y)dx f(B(),y)B'()-f(a(v),yka'() 证明:记I(y) f(x, y)da I()='f(, y)dx+ mf(x,y)dx+ B() f(x, y)dx 将上式等号右边的三个积分分别记为l3(y),1(y),12(y) 它们分别在y0点处的导数是 (On)= 12(y0+4y)-l2(y0) 12(y+4y) 12(y0)=lim 4 ∫(x,y+4y f(,y+△y B(o+△y)-B(0) 第五节含参变量的积分第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 5 y I y y I y I y dy d y y y  +  − =        → = ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 f x y y dx y b y a lim ( , ) 0 0 =  +  →    = f x y y dx y y b a lim ( , ) 0 0  +    →  = ( , ) . f x y0 dx y b a   这表明, 若 f (x, y) 满足定理的条件, 则由含参积分 a b f x y dx  ( , ) 定义 的函数 I(y) 在 (c,d ) 内可微, 且对参变量 y 的求导与对x的积分运算可变换 顺序, 这个性质也称为 积分号下求微商。 ⚫ 可导性定理(2) 设 (i) f (x, y) 及   f y (x, y) 在 D : a,b c,d 上连续; (ii) ( y),( y) 在 c,d 上可微, 且 y c,d 时, 满足 a  ( y)  b , a  ( y)  b。 则 d dy f x y dx f x y dx y y y y y     ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , )   =  + f ((y), y)(y) − f ((y), y)(y). 证明: 记 I y f x y dx y y ( ) ( , ) ( ) ( ) =   , y0 c,d, ( ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0    = + + y y y y y y I y f x y dx f x y dx f x y dx       将上式等号右边的三个积分分别记为 ( ), ( ), ( ) 3 1 2 I y I y I y , 它们分别在 y 0 点处的导数是：  =   I y f x y dx y y 1 0 y 0 0 0 ( ) ( , ) ( ) ( )    = + − = + → → I y I y y I y y I y y y y y 2 0 0 2 0 2 0 0 2 0 ( ) lim ( ) ( ) lim ( )       = + → +  lim ( , ) ( ) ( )     y y y y y f x y y dx 0 0 1 0 0   . = ( ) y y y y f y y y  +  − +    → ( ) ( ) lim , 0 0 0 0   