第四章重积分 46-3含参积分的解析性质 连续性定理若f(x,y)在D:[,b][cd]上连续 则/(y2-(xy)在小上连续,即w小均有 J4)Ja/(x, y)dr= lim f(x, y)dx=/(,Mo)dx 证明设yo∈ ∫(x,y)x-f(x, =[(x,y)-f(x,y0 sU(x, y)-f(x, J,)r 由于∫(x,y)在有界闭区域D上连续,从而一致连续,因此对于上述 E,存在不依赖于(x,y)的>0,使得当ye[c4]且y-y<o时, I(x,y)-f(x,yo k< E 于是 J(x,y)-f(x,y0)女< 故I(y)在yo点连续,本定理得证。 注:上述定理表明,积分f(x,y)d对参变量y的极限运算与对变量 x的积分运算的顺序可变换,这个性质也称为积分号下求极限 可导性定理1)设几(xy)及在有界闭区域D:[a×司]上 连续,Vy∈(c,d), f(x, y)dx a∫(x,y) 证明记1(y)=f(x,y),则 (y0+4y)-/(y0)_1 小 4【(x,3+2)-f(x,) =f(xy0+Ay),(0<<1) 由于∫y(x,y)在D区域上连续,根据连续性定理,可得 第五节含参变量的积分第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 4 4-6-3 含参积分的解析性质 ⚫ 连续性定理 若 f (x, y) 在 D : a,bc,d 上连续, 则  = b a I( y) f (x, y)dx 在 c,d 上连续, 即 y c,d  0  , 均有 →  b y y a lim f (x, y)dx 0   = = → b a b y y a lim f (x, y)dx f (x, y )dx 0 0 . 证明: 设 y c,d 0  ,   0 , 由   a b a b a b f x y dx f x y dx f x y f x y dx    ( , ) − ( , ) = ( , ) − ( , ) 0 0  − a b f (x, y) f (x, y ) dx 0 . 由于 f (x, y) 在有界闭区域 D 上连续, 从而一致连续, 因此 对于上述  , 存在不依赖于 (x, y) 的   0, 使得当 y c,d 且 y − y0   时, f x y f x y b a ( , ) − ( , )  − 0  , x a,b, 于是 a b a b f x y f x y dx b a dx   −  − ( , ) ( , 0 ) =   , 故 I(y) 在 y 0 点连续, 本定理得证。 注: 上述定理表明 ,积分 a b f x y dx  ( , ) 对参变量 y 的极限运算与对变量 x 的积分运算的顺序可变换, 这个性质也称为积分号下求极限。 ⚫ 可导性定理(1) 设 f (x, y) 及 y f   在有界闭区域 D : a,b c,d 上 连续, y0 (c,d) ,   = =          =      b y y a y y b a dx y f x y f x y dx dy d 0 0 ( , ) ( , ) . 证明 记 I y f x y dx a b ( ) = ( , )  , 则   I y y I y y y f x y y f x y dx a ( ) ( ) b ( , ) ( , ) 0 0 0 0 + − 1 = + −      . =   +  b a f y (x, y y)dx 0  , (0    1) . 由于 f  x y y ( , ) 在 D 区域上连续, 根据连续性定理, 可得