教案 函数的幂级数展开 复旦大学陈纪修金路 1.教学内容 函数的幂级数( Taylor级数)展开是数学分析课程中最重要的内容之一,也是整 个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法,比较 它们的优缺点,使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上,掌握如 何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数,提高学生的计算与运算 能力。 2.指导思想 (1)函数的幂级数( Taylor级数)展开作为一个强有力的数学工具,在分析学 中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论, 而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法,这样容易造成学生虽然掌握了幂级数 的基本理论,但在实际计算中,即使对于一个很简单的函数,在求它的幂级数展 开时也会感到很困难,这种状况必须加以改变 (2)求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题,虽然我们有函 数的幂级数展开公式(见下面的(*)式),但一般来说,直接利用(*)式来求 函数的幂级数展开往往很不方便,因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级 数展开方法,提高学生的实际计算能力,这也是我们在数学分析课程中推行素质 教育的一个不可忽视的环节。 3.教学安排 首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容:设函数f(x)在xo的某个邻域 O(xo,p)中能展开幂级数,则它的幂级数展开就是f(x)在x0的 Taylor级数 f(x)=∑ f("(x0) (x-x0)",x∈O(xa2,r) 另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式 (1)f(x)=e=∑x =1+x+一+ +oO (2)()-snx=∑(-)x 0(2n+1)!教案 函 数 的 幂 级 数 展 开 复 旦 大 学 陈纪修 金路 1． 教学内容 函数的幂级数（Taylor 级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整 个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较 它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如 何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算 能力。 2．指导思想 （1）函数的幂级数（Taylor 级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学 中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论， 而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数 的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展 开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。 （2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函 数的幂级数展开公式（见下面的（*）式），但一般来说，直接利用（*）式来求 函数的幂级数展开往往很不方便，因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级 数展开方法，提高学生的实际计算能力，这也是我们在数学分析课程中推行素质 教育的一个不可忽视的环节。 3. 教学安排 首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容：设函数f (x)在 x0 的某个邻域 O(x0, r)中能展开幂级数，则它的幂级数展开就是f (x) 在x0 的Taylor级数： （*） ( ) , ( , ). ! ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) x x x O x r n f x f x n n n = ∑ − ∈ ∞ = 另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式： (1) f (x) = ex = ∑ ∞ =0 ! n n n x 2! 3! ! 1 2 3 n x x x x n = + + + +"" + …, x ∈(-∞, +∞)。 (2) f (x) = sin x = ∑ ∞ = + + − 0 2 1 (2 1)! ( 1) n n n x n (2 1)! ( 1) 3! 5! 3 5 2 1 + = − + − + − + n x x x x n "" n + …, x∈(-∞, + ∞)。 1