第二节偏导数 教学目的:学习偏导数的定义,学会求多元函数的偏导数和多阶偏导数。 教学重点:偏导数的定义,判断二元函数偏导数的存在性,计算二元、多元函数 的偏导数。 教学难点:判断二元函数偏导数的存在性,计算多元函数的偏导数。 教学内容 、导数的定义及其计算法 以二元函数=f(x,y)为例,如果只有自变量x变化,而自变量y固定(即看作常量), 这时它就是x的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z对于x的偏导数,即有 如下定义: 定义设函数=f(x,y)在点(x0,y)的某一邻域内有定义,当y固定在y0而x在 x0处有增量Ax时,相应地函数有增量 f(xo +Ax, yo)-f(xo, yo) 如果 f(xo + Ax, yo)-f(xo, yo) AX 存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x,y)处对x的偏导数,记作 x|x或f1(xy0) x=xo x=xo 例如,极限(1)可以表示为 f1(x0,1)=(x+△x)-f(x23) 类似地,函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数定义为 lim /(xo, ]o+ Ay)-/(xo, yo) (3) y 记作 ,,x或f,(x0,y) 如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导第 二 节 偏导数 教学目的：学习偏导数的定义，学会求多元函数的偏导数和多阶偏导数。 教学重点：偏导数的定义，判断二元函数偏导数的存在性，计算二元、多元函数 的偏导数。 教学难点：判断二元函数偏导数的存在性，计算多元函数的偏导数。 教学内容： 一、 导数的定义及其计算法 以二元函数 z = f (x, y) 为例，如果只有自变量 x 变化，而自变量 y 固定（即看作常量）， 这时它就是 x 的一元函数，这函数对 x 的导数，就称为二元函数 z 对于 x 的偏导数，即有 如下定义： 定义 设函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 的某一邻域内有定义，当 y 固定在 0 y 而 x 在 0 x 处有增量 x 时，相应地函数有增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + x y − f x y , 如果 0 lim x→ x f x x y f x y  ( +  , ) − ( , ) 0 0 0 0 (1) 存在，则称此极限为函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处对 x 的偏导数，记作 0 0 y y x x x z =  =  , 0 0 y y x x x f =  =  , 0 0 y y x x x z = = 或 x f ( , ) 0 0 x y 例如，极限（1）可以表示为 0 0 0 ( , ) lim  → = x x f x y x f x x y f x y  ( +  , ) − ( , ) 0 0 0 0 . (2) 类似地，函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处对 y 的偏导数定义为 0 lim y→ y f x y y f x y  ( , +  ) − ( , ) 0 0 0 0 (3) 记作 0 0 y y y x x z =  =  , 0 0 y y y x x f =  =  , 0 0 y y x x y z = = 或 y f ( , ) 0 0 x y 如果函数 z = f (x, y) 在区域 D 内每一点 (x, y) 处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导