《高等数学》课程教学资源：第八章 多元函数微分法及其应用

第八章多元函数微分法及其应用 第一节多元函数的基本概念 教学目的:学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念,掌握多元 函数的连续性定理,能够判断多元函数的连续性,能够求出连续函数 在连续点的极限。 教学重点:多元函数概念和极限,多元函数的连续性定理 教学难点:计算多元函数的极限。 教学内容 区域 1.邻域 设p0(x0,y0)是xoy平面上的一个点,δ是某一正数。与点P0(x0,y0)距离小于O的 点p(x,y)的全体,称为点P的δ邻域,记为U(,),即 U(P,D)={PPB|0为半径的圆内部 的点P(x,y)的全体 2.区域 设E是平面上的一个点集,P是平面上的一个点。如果存在点P的某一邻域U(P)cE, 则称P为E的内点。显然,E的内点属于E 如果E的点都是内点,则称E为开集。例如,集合E1={(x,y<x2+y2<4}中每 个点都是E1的内点,因此E1为开集 如果点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点(点P本身可以属于E 也可以不属于E),则称P为E的边界点。E的边界点的全体称为E的边界。例如上例中, E1的边界是圆周x2+y2=1和x2+y2=4 设D是点集。如果对于D内任何两点,都可用折线连结起来,且该折线上的点都属于

第 八 章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 多元函数的基本概念 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元 函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数 在连续点的极限。 教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学内容： 一、 区域 1． 邻域 设 ( , ) 0 0 0 p x y 是 xoy 平面上的一个点，  是某一正数。与点 ( , ) 0 0 0 p x y 距离小于  的 点 p x y ( , ) 的全体，称为点 P0 的  邻域，记为 ( , ) U P0  ，即 ( , ) U P0  ={ } P PP0   ， 也就是 ( , ) U P0  = { (x, y) │ − + −   2 0 2 0 (x x ) (y y ) }。 在几何上， ( , ) U P0  就是 xoy 平面上以点 ( , ) 0 0 0 p x y 为中心、   0 为半径的圆内部 的点 P(x, y) 的全体。 2． 区域 设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点。如果存在点 P 的某一邻域 U(P)  E ， 则称 P 为 E 的内点。显然， E 的内点属于 E 。 如果 E 的点都是内点，则称 E 为开集。例如，集合 {( , )1 4} 2 2 E1 = x y  x + y  中每 个点都是 E 1 的内点，因此 E 1 为开集。 如果点 P 的任一邻域内既有属于 E 的点，也有不属于 E 的点（点 P 本身可以属于 E ， 也可以不属于 E ），则称 P 为 E 的边界点。 E 的边界点的全体称为 E 的边界。例如上例中， E 1 的边界是圆周 1 2 2 x + y = 和 2 2 x + y =4。 设 D 是点集。如果对于 D 内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于

D,则称点集D是连通的 连通的开集称为区域或开区域。例如,{(xy)x+y>0及xy0}是无界开区域 、多元函数概念 在很多自然现象以及实际问题中,经常遇到多个变量之间的依赖关系,举例如下: 例1圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系 h 这里,当r、h在集合{(,b)>0,h>0内取定一对值(r,b)时,V的对应值就随之确定。 例2一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系 RT 其中R为常数。这里,当V、T在集合{(,D>0,7>写}内取定一对值(,T)时,p的 对应值就随之确定 定义1设D是平面上的一个点集。称映射∫:D→R为定义在D上的二元函数,通 常记为 z=f(x,y),(x,y)∈D(或=f(P),P∈D)。 其中点集D称为该函数的定义域,x、y称为自变量,二称为因变量。数集 2=f(x,y)(xy)∈D 称为该函数的值域

D，则称点集 D 是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如， {(x, y) x + y  0} 及 {( , )1 4} 2 2 x y  x + y  都 是区域。 开区域连同它的边界一起所构成的点集，称为闭区域，例如 { (x, y) │ x + y ≥0}及{ (x, y) │1≤ 2 2 x + y ≤4} 都是闭区域。 对于平面点集 E ,如果存在某一正数 r ，使得 E U r  (0, )， 其中 0 是原点坐标，则称 E 为有界点集，否则称为无界点集。例如，{ (x, y) │1≤ 2 2 x + y ≤ 4}是有界闭区域，{ (x, y) │ x + y >0}是无界开区域。 二、多元函数概念 在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下： 例 1 圆柱体的体积 V 和它的底半径 r 、高 h 之间具有关系 V r h 2 =  。 这里，当 r 、h 在集合 {(r,h)r  0,h  0} 内取定一对值 (r,h) 时， V 的对应值就随之确定。 例 2 一定量的理想气体的压强 p 、体积 V 和绝对温度 T 之间具有关系 p = V RT ， 其中 R 为常数。这里，当 V 、T 在集合 0 {( , ) 0, } V T V T T   内取定一对值 ( , ) V T 时， p 的 对应值就随之确定。 定义 1 设 D 是平面上的一个点集。称映射 f D R : → 为定义在 D 上的二元函数，通 常记为 z = f (x, y) ，( , ) x y D  （或 z = f (P)， P D  ）。 其中点集 D 称为该函数的定义域， x、y 称为自变量， z 称为因变量。数集 {z z = f (x, y),(x, y)D} 称为该函数的值域

二是x,y的函数也可记为z=z(x,y),二=0(x,y)等等。 类似地可以定义三元函数=f(x,y,=)以及三元以上的函数。一般的,把定义1中的 平面点集D换成n维空间内的点集D,则可类似地可以定义n元函数 l=f(x12x2,…,x)。n元函数也可简记为t=f(P),这里点P(x12x2…,xn)∈D。当 n=1时,n元函数就是一元函数。当n≥2时,n元函数就统称为多元函数。 关于多元函数定义域,与一元函数类似,我们作如下约定:在一般地讨论用算式表达 的多元函数u=f(x)时,就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函 数的自然定义域。例如,函数z=h(x+y)的定义域为 (x+y)x+y>0 (图8-1),就是一个无界开区域。又如,函数z= arcsin(x2+y2)的定义域为 i(x+y (图8-2),这是一个有界闭区域 图8-1-1 图8-1-2 设函数z=f(x,y)的定义域为D。对于任意取定的点P(x,y)∈D,对应的函数值为 =f(x,y)。这样,以x为横坐标、y为纵坐标、z=f(x,y)为竖坐标在空间就确定一点 M(x,y,z)。当(x,y)遍取D上的一切点时,得到一个空间点集 ((x,y, ===f(x,D),(,y)E) 这个点集称为二元函数z=f(x,y)的图形。通常我们也说二元函数的图形是一张曲面。 三、多元函数的极限

z 是 x, y 的函数也可记为 z = z(x, y) ， z x y =( , ) 等等。 类似地可以定义三元函数 u = f (x, y,z) 以及三元以上的函数。一般的，把定义 1 中的 平 面 点 集 D 换 成 n 维 空 间 内 的 点 集 D ， 则 可 类 似 地 可 以 定 义 n 元函数 ( , , , ) 1 2 n u = f x x  x 。 n 元函数也可简记为 u = f (P) ，这里点 P(x1 , x2 ,  , xn ) D 。当 n =1 时， n 元函数就是一元函数。当 n  2 时， n 元函数就统称为多元函数。 关于多元函数定义域，与一元函数类似，我们作如下约定：在一般地讨论用算式表达 的多元函数 u f x = ( ) 时，就以使这个算式有意义的变元 x 的值所组成的点集为这个多元函 数的自然定义域。例如，函数 z = ln( x + y) 的定义域为 {(x + y) x + y  0} （图 8-1），就是一个无界开区域。又如，函数 arcsin( ) 2 2 z = x + y 的定义域为 {( ) 1} 2 2 x + y x + y  （图 8-2），这是一个有界闭区域。 图 8-1-1 图 8-1-2 设函数 z = f (x, y) 的定义域为 D 。对于任意取定的点 P(x, y)  D ，对应的函数值为 z = f (x, y) 。这样，以 x 为横坐标、 y 为纵坐标、 z = f (x, y) 为竖坐标在空间就确定一点 M (x, y,z) 。当 (x, y) 遍取 D 上的一切点时，得到一个空间点集 {(x, y,z)z = f (x, y),(x, y) D}， 这个点集称为二元函数 z = f (x, y) 的图形。通常我们也说二元函数的图形是一张曲面。 三、多元函数的极限

定义2设二元函数f(x,y)的定义域为D,B(x0,y0)是D的聚点。如果存在常数A 对于任意给定的正数E,总存在正数,使得当点P(x,y)∈D∩U(P0,6)时,都有 (x,y)-AA((x,y)→(x0,y0)) 为了区别于一元函数的极限,我们把二元函数的极限叫做二重极限。 我们必须注意,所谓二重极限存在,是指P(x,y)以任何方式趋于P(x,y)时,函数 都无限接近于A。因此,如果P(x,y)以某一种特殊方式,例如沿着一条直线或定曲线趋于 (xy)时,即使函数无限接近于某一确定值,我们还不能由此断定函数的极限存在。但 是反过来,如果当P(x,y)以不同方式趋于B(x0,y)时,函数趋于不同的值,那么就可以 断定这函数的极限不存在。下面用例子来说明这种情形。 考察函数 x x2+y2≠0 显然,当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时,imf(x,y)=limf(x,0)=0;又 (x,y)→+(0,0) 当点P(x,y)沿y轴趋于点(0,0)时,limf(x,y)=limf(0,y)=0 虽然点P(x,y)以上述两种特殊方式(沿x轴或沿y轴)趋于原点时函数的极限存在并且 相等但是Iimf(x,y)并不存在这是因为当点P(x,y)沿着直线y=kx趋于点(0,0) 时,有 =Im x→0 显然它是随着k的值的不同而改变的 例3求 lim sin(ry) (x,y)(0,2)x 解这里(x,y)=53的定义域为D={(xyx≠0y∈R,02)为D的

定义 2 设二元函数 f (x, y) 的定义域为 D ， ( , ) 0 0 0 P x y 是 D 的聚点。如果存在常数 A ， 对于任意给定的正数  ，总存在正数  ，使得当点 0 P x y D U P ( , ) ( , )    时，都有 f (x, y) − A   成立，则称常数 A 为函数 f (x, y) 当 0 0 ( , ) ( , ) x y x y → 时的极限，记作 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) x y x y f x y A → = ， 或 f (x, y) → A （ 0 0 ( , ) ( , ) x y x y → ）。 为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。 我们必须注意，所谓二重极限存在，是指 P(x, y) 以任何方式趋于 0 0 0 P x y ( , ) 时，函数 都无限接近于 A 。因此，如果 P(x, y) 以某一种特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋于 0 0 0 P x y ( , ) 时，即使函数无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在。但 是反过来，如果当 P(x, y) 以不同方式趋于 0 0 0 P x y ( , ) 时，函数趋于不同的值，那么就可以 断定这函数的极限不存在。下面用例子来说明这种情形。 考察函数      + = +  = + 0, 0, , 0, ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 显然，当点 P(x, y) 沿 x 轴趋于点 (0,0) 时， ( , ) (0,0) 0 0 lim ( , ) lim ( ,0) 0 x y x y f x y f x → → → = = ；又 当点 P(x, y) 沿 y 轴趋于点 (0,0) 时， ( , ) (0,0) 0 0 lim ( , ) lim (0, ) 0 x y y x f x y f y → → → = = 。 虽然点 P(x, y) 以上述两种特殊方式(沿 x 轴或沿 y 轴)趋于原点时函数的极限存在并且 相等,但是 ( , ) (0,0) lim ( , ) x y f x y → 并不存在.这是因为当点 P(x, y) 沿着直线 y = kx 趋于点 (0,0) 时,有 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 0 lim lim x y x 1 y kx xy kx k → → x y x k x k = = = + + + ， 显然它是随着 k 的值的不同而改变的. 例 3 求 ( , ) (0,2) sin( ) lim x y xy → x . 解 这里 x xy f x y sin( ) ( , ) = 的定义域为 D x y x y R =   ( , ) 0,  ， 0P (0,2) 为 D 的

聚点。由极限运算法则得 sin(xy) sin(xy) =lm limy=12=2。 四、多元函数的连续性 定义3设函数f(x,y)在开区域(闭区域)D内有定义,B(x0,y)是D聚点,且 P∈D。如果 lim f(x, y)=f (r,y)=o,o 则称函数∫(x,y)在点P(x0,y0)连续 如果函数∫(x,y)在开区域(或闭区域)D内的每一点连续,那么就称函数∫(x,y)在D 内连续,或者称f(x,y)是D内的连续函数 若函数f(x,y)在点B(x0,y0)不连续,则称P为函数f(x,y)的间断点。这里顺便指 出:如果在开区域(或闭区域)D内某些孤立点,或者沿D内某些曲线,函数∫(x,y)没 有定义,但在D内其余部分都有定义,那么这些孤立点或这些曲线上的点,都是函数f(x,y) 的不连续点,即间断点。 前面已经讨论过的函数 x2+y2≠0 f(x,y)=x+y 0, 当(x,y)→>(0,0)时的极限不存在,所以点(0,0)是该函数的一个间断点。二元函数的间断点 可以形成一条曲线,例如函数 sin 在圆周x2+y2=1上没有定义,所以该圆周上各点都是间断点。 与闭区域上一元连续函数的性质相类似,在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质 性质1(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上一定有 最大值和最小值。这就是说,在D上至少有一点P及一点P2,使得f(B)为最大值而f(P2)

聚点。由极限运算法则得 ( , ) (0,2) 0 2 sin( ) sin( ) lim lim lim 1 2 2 x y xy y xy xy y → → → x xy =  =  = 。 四、多元函数的连续性 定义 3 设函数 f (x, y) 在开区域（闭区域） D 内有定义， ( , ) 0 0 0 P x y 是 D 聚点，且 P0  D 。如果 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) x y x y f x y f x y → = , 则称函数 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 连续。 如果函数 f (x, y) 在开区域（或闭区域） D 内的每一点连续，那么就称函数 f (x, y) 在 D 内连续，或者称 f (x, y) 是 D 内的连续函数。 若函数 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 不连续，则称 P0 为函数 f (x, y) 的间断点。这里顺便指 出：如果在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内某些曲线，函数 f (x, y) 没 有定义，但在 D 内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点，都是函数 f (x, y) 的不连续点，即间断点。 前面已经讨论过的函数 2 2 2 2 2 2 , 0, ( , ) 0, 0, xy x y f x y x y x y   +  =  +   + = 当 ( , ) (0,0) x y → 时的极限不存在，所以点 (0,0) 是该函数的一个间断点。二元函数的间断点 可以形成一条曲线，例如函数 1 1 sin 2 2 + − = x y z 在圆周 1 2 2 x + y = 上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点。 与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质。 性质 1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上一定有 最大值和最小值。这就是说，在 D 上至少有一点 P1 及一点 P2 ，使得 ( ) P1 f 为最大值而 ( ) P2 f

为最小值,即对于一切P∈D,有 f(P2)≤f(P)≤f(P) 性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数,必取得介于最大值和最小值 之间的任何值 切多元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓定义区域是指包含在定义域内的区 域或闭区域。 由多元初等函数的连续性,如果要求它在点P处的极限,而该点又在此函数的定义区 域内,则极限值就是函数在该点的函数值,即 lm f(P)=f(Po) 例4求limx+y (x,y)→+(1,2) 解函数f(x,y)=xy是初等函数,它的定义域为D={(x,y)x≠0,y≠0} 因D不是连通的,故D不是区域。但D1={(x,y)x>0,y>0}是区域,且D1CD,所 以D是函数∫(x,y)的一个定义区域。因B(1,2)∈D1,故 Im x+y=f(1, 如果这里不引进区域D1,也可用下述方法判定函数f(x,y)在点P(2)处是连续的 因P是f(x,y)的定义域D的内点,故存在P的某一邻域U(P)cD,而任何邻域都是区 域,所以U(P0)是f(x,y)的一个定义区域,又由于f(x,y)是初等函数,因此f(x,y)在点 尸处连续 般地,求Imnf(P),如果f(P)是初等函数,且P是f(P)的定义域的内点,则f(P) 在点P处连续,于是mnf(P)=f(B)。 例5求lmyy+1-1

为最小值，即对于一切 P∈D, 有 ( ) ( ) ( ) 2 P1 f P  f P  f . 性质 2（介值定理） 在有界闭区域 D 上的多元连续函数，必取得介于最大值和最小值 之间的任何值。 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓定义区域是指包含在定义域内的区 域或闭区域。 由多元初等函数的连续性，如果要求它在点 P0 处的极限，而该点又在此函数的定义区 域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即 lim ( ) ( ) 0 0 f P f P P P = → . 例 4 求 ( , ) (1,2) lim x y x y → xy + . 解 函数 xy x y f x y + ( , ) = 是初等函数，它的定义域为 D ={(x, y) x  0, y  0}。 因 D 不是连通的，故 D 不是区域。但 {( , ) 0, 0} D1 = x y x  y  是区域，且 D1  D ，所 以 D 是函数 f (x, y) 的一个定义区域。因 0 1 P (1,2) D , 故 ( , ) (1,2) 3 lim (1,2) x y 2 x y f → xy + = = . 如果这里不引进区域 D1 ，也可用下述方法判定函数 f (x, y) 在点 (1,2) P0 处是连续的： 因 P0 是 f (x, y) 的定义域 D 的内点，故存在 P0 的某一邻域 U(P0 )  D ，而任何邻域都是区 域，所以 ( ) U P0 是 f (x, y) 的一个定义区域，又由于 f (x, y) 是初等函数，因此 f (x, y) 在点 P0 处连续。 一般地，求 lim ( ) 0 f P P→P ，如果 f (P) 是初等函数，且 P0 是 f (P) 的定义域的内点，则 f (P) 在点 P0 处连续，于是 lim ( ) ( ) 0 0 f P f P P P = → 。 例 5 求 ( , ) (0,0) 1 1 lim x y xy → xy + −

解imy9+1-1 xy+1-1 lim √+1+1)(m0)y+1+12 小结 本节在一元函数的基础上,讨论多元函数的基本概念。讨论中我们以二元函数为主, 针对二元函数的极限及连续予以重点介绍。从二元函数到二元以上的多元函数则可 以类推 作业 作业卡p7-8

解 ( , ) (0,0) 1 1 lim x y xy → xy + − = ( , ) (0,0) 1 1 lim ( 1 1) x y xy → xy xy + − + + = ( , ) (0,0) 1 lim 1 1 x y → xy + + = 2 1 小结： 本节在一元函数的基础上，讨论多元函数的基本概念。讨论中我们以二元函数为主， 针对二元函数的极限及连续予以重点介绍。从二元函数到二元以上的多元函数则可 以类推。 作业： 作业卡 p7-8

第二节偏导数 教学目的:学习偏导数的定义,学会求多元函数的偏导数和多阶偏导数。 教学重点:偏导数的定义,判断二元函数偏导数的存在性,计算二元、多元函数 的偏导数。 教学难点:判断二元函数偏导数的存在性,计算多元函数的偏导数。 教学内容 、导数的定义及其计算法 以二元函数=f(x,y)为例,如果只有自变量x变化,而自变量y固定(即看作常量), 这时它就是x的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z对于x的偏导数,即有 如下定义: 定义设函数=f(x,y)在点(x0,y)的某一邻域内有定义,当y固定在y0而x在 x0处有增量Ax时,相应地函数有增量 f(xo +Ax, yo)-f(xo, yo) 如果 f(xo + Ax, yo)-f(xo, yo) AX 存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x,y)处对x的偏导数,记作 x|x或f1(xy0) x=xo x=xo 例如,极限(1)可以表示为 f1(x0,1)=(x+△x)-f(x23) 类似地,函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数定义为 lim /(xo, ]o+ Ay)-/(xo, yo) (3) y 记作 ,,x或f,(x0,y) 如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导

第 二 节 偏导数 教学目的：学习偏导数的定义，学会求多元函数的偏导数和多阶偏导数。 教学重点：偏导数的定义，判断二元函数偏导数的存在性，计算二元、多元函数 的偏导数。 教学难点：判断二元函数偏导数的存在性，计算多元函数的偏导数。 教学内容： 一、 导数的定义及其计算法 以二元函数 z = f (x, y) 为例，如果只有自变量 x 变化，而自变量 y 固定（即看作常量）， 这时它就是 x 的一元函数，这函数对 x 的导数，就称为二元函数 z 对于 x 的偏导数，即有 如下定义： 定义 设函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 的某一邻域内有定义，当 y 固定在 0 y 而 x 在 0 x 处有增量 x 时，相应地函数有增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + x y − f x y , 如果 0 lim x→ x f x x y f x y  ( +  , ) − ( , ) 0 0 0 0 (1) 存在，则称此极限为函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处对 x 的偏导数，记作 0 0 y y x x x z =  =  , 0 0 y y x x x f =  =  , 0 0 y y x x x z = = 或 x f ( , ) 0 0 x y 例如，极限（1）可以表示为 0 0 0 ( , ) lim  → = x x f x y x f x x y f x y  ( +  , ) − ( , ) 0 0 0 0 . (2) 类似地，函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处对 y 的偏导数定义为 0 lim y→ y f x y y f x y  ( , +  ) − ( , ) 0 0 0 0 (3) 记作 0 0 y y y x x z =  =  , 0 0 y y y x x f =  =  , 0 0 y y x x y z = = 或 y f ( , ) 0 0 x y 如果函数 z = f (x, y) 在区域 D 内每一点 (x, y) 处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导

数就是x、y的函数,它就称为函数z=f(x,y)对自变量y的偏导数,记作 或∫2(x,y) 类似地,可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导数,记作 或J,(x,y) 偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数。例如三元函数=f(x,y,z)在点 (x,y,二)处对x的偏导数定义为 f(x,y,==lim f(x0+Ax,y,=)-f(x,y,=) △x 其中(x,y,z)是函数u=f(x,y,=)的定义域的内点。它们的求法也仍旧是一元函数的微分 法问题。 例1求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数 解把y看作常量,得 把x看作常量,得 y 将(1,2)代入上面的结果,就得 x=2·1+3·2=8 =2=31+22=7 例2求z=sn2y的偏导数。 O =l=2x- co 例3设z=x(x>0

数就是 x、y 的函数，它就称为函数 z = f (x, y) 对自变量 y 的偏导数，记作 x z   , x f   , x z 或 x f (x, y) 类似地，可以定义函数 z = f (x, y) 对自变量 y 的偏导数，记作 y z   , y f   , y z 或 y f (x, y) 偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数。例如三元函数 u = f ( x, y,z ) 在点 ( x, y,z ) 处对 x 的偏导数定义为 x f x x y z f x y z f x y z x x  +  − =  → ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0 0 lim 其中 ( x, y,z )是函数 u = f (x, y,z) 的定义域的内点。它们的求法也仍旧是一元函数的微分 法问题。 例 1 求 2 2 z = x + 3xy + y 在点(1, 2)处的偏导数。 解 把 y 看作常量，得 x y x z = 2 + 3   把 x 看作常量，得 x y y z = 3 + 2   将 (1, 2)代入上面的结果，就得 2 1 3 2 8 1 2 =  +  =   = = x y x z ， 3 1 2 2 7 1 2 =  +  =   = = x y y z 例2 求 z = sin 2y 的偏导数。 解 x y x z x y 2 sin 2 1 2 =   = = , x y y z x y 2 cos 2 1 2 2 =   = = 例 3 设 z = x (x  0 x  1) y ， ,求证：

x=+102=2 y ax In x ay 证因为a av-x'Inx 所以x2 +-xInx=x)+x=2z y x n x 例4求r=√x2+y2+2的偏导数 解把y和二都看作常量,得 ax x2+y2+22 r 由于所给函数关于自变量的对称性,所以 二元函数=f(x,y)在点(x0,y)的偏导数有下述几何意义。 设M0(x,y,f(x0,y)为曲面z=f(x,y)上的一点,过M0作平面y=y0,截此曲 面得一曲线,此曲线在平面y=y0上的方程为2=f(x,y0),则导数f(x,y0)l=x,即 偏导数∫2(x0,y0),就是这曲线在点M处的切线MTx对x轴的斜率。同样,偏导数 f(x0,y0)的几何意义是曲面被平面x=x0所截得的曲线在点M处的切线M。,对y轴 的斜率 我们已经知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续。但对于多元函 数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在 只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P时,函数值∫(P)趋于∫(P),但不能保证点 P按任何方式趋于P时,函数值∫(P)都趋于∫(P)。例如,函数 x,y)=1x+y21+ 0, x2+y2=0, 在点(0,0)对x的偏导数为

x z y x   + ln x 1 z y z = 2   证 因为 −1 =   y yx x z , x x y z y = ln   , 所以 y x x z   + ln x 1 y z   = y−1 yx y x + x x x x z x y y y ln 2 ln 1 = + = 例 4 求 2 2 2 r = x + y + z 的偏导数。 解 把 y 和 z 都看作常量，得 x r   = 2 2 2 x y z x + + = r x 由于所给函数关于自变量的对称性，所以 y r   = r y , z r   = r z . 二元函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 的偏导数有下述几何意义。 设 ( , , ( , )) 0 0 0 0 0 M x y f x y 为曲面 z = f (x, y) 上的一点，过 M0 作平面 0 y = y ，截此曲 面得一曲线，此曲线在平面 0 y = y 上的方程为 ( , ) 0 z = f x y ，则导数 0 ( , ) | 0 x x f x y dx d = , 即 偏导数 ( , ) 0 0 f x y x ,就是这曲线在点 M0 处的切线 M0Tx 对 x 轴的斜率。同样，偏导数 ( , ) 0 0 f x y y 的几何意义是曲面被平面 0 x = x 所截得的曲线在点 M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴 的斜率。 我们已经知道，如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续。但对于多元函 数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在 只能保证点 P 沿着平行于坐标轴的方向趋于 P0 时，函数值 f (P) 趋于 ( ) P0 f ,但不能保证点 P 按任何方式趋于 P0 时，函数值 f (P) 都趋于 ( ) P0 f 。例如，函数      + = +  = = + 0, 0, , 0, ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y z f x y 在点（0，0）对 x 的偏导数为