第七章空间解析几何与向量代数 第一节空间直角坐标系 教学目的:将学生的思维由平面引导到空间,使学生明确学习空间解析几何的意 义和目的。 教学重点:1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 教学难点:空间思想的建立 教学内容: 空间直角坐标系 1.将数轴(一维)、平面直角坐标系(二维)进一步推广建立空间直角坐标系(三维) 如图7-1,其符合右手规则。即以右手握住z轴,当右手的四个手指从正向x轴以一角度 转向正向y轴时,大拇指的指向就是轴的正向。 2.间直角坐标系共有八个卦限,各轴名称分别为:x轴、y轴、二轴,坐标面分别为 oy面、yOz面、zox面。坐标面以及卦限的划分如图7-2所示 图7-1右手规则演示图图7-2空间直角坐标系图图7-3空间两点M1M2的距离图 3.空间点M(x,y,)的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应 起来 注意:特殊点的表示 a)在原点、坐标轴、坐标面上的点 b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法 4.空间两点间的距离。若M1(x1,y1,=1)、M2(x2,y2,=2)为空间任意两点,则M1M2
第七章 空间解析几何与向量代数 第一节 空间直角坐标系 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意 义和目的。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 教学难点：空间思想的建立 教学内容： 一、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维） 如图 7－1，其符合右手规则。即以右手握住 z 轴，当右手的四个手指从正向 x 轴以 2 角度 转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是 z 轴的正向。 2． 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为： x 轴、 y 轴、 z 轴，坐标面分别为 xoy 面、 yoz 面、 zox 面。坐标面以及卦限的划分如图 7－2 所示。 图 7－1 右手规则演示图 图 7－2 空间直角坐标系图 图 7－3 空间两点 M1M2 的距离图 3．空间点 M (x, y,z) 的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应 起来。 注意：特殊点的表示 a)在原点、坐标轴、坐标面上的点； b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。 4．空间两点间的距离。若 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 、 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 为空间任意两点，则 M1M2
的距离(见图7-3),利用直角三角形勾股定理为: d2=|MM2}2=|MN2+|NM2 MP +pN+NM2I 而 M, P=2-x PN=Iv2 M2|=12- 所以 d=M,M2=V(x2-x) 特殊地:若两点分别为M(x,y,z),o(0,0.0) d=oM=√x2+y2+2 例1:求证以M(431)、M2(72)、M3(523)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。 证明:|M1M1=(4-7)2+(3-1)2+(1-2)2=14 M2M2=(5-72+(2-1)2+(3-2)2=6 M3M1F2=(5-4)2+(2-32+(3-1)2=6 由于M2Ml=|M3M|,原结论成立。 例2:设P在x轴上,它到P(0,√2,3)的距离为到点P(O,1-1)的距离的两倍,求点P的坐 标 解:因为P在x轴上,设P点坐标为(x,00) P=x2+(2)+32=√2+11p|=x2++1)+1=√x+2 PR=2PPI ±1 所求点为:(,0,0),(-1,00) 小结:空间直角坐标系(轴、面、卦限) 空间两点间距离公式 作业
的距离（见图 7－3），利用直角三角形勾股定理为： 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 M p pN NM d M M M N NM = + + = = + 而 1 2 1 M P = x − x 2 1 PN = y − y 2 2 1 NM = z − z 所以 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 d = M M = (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) 特殊地：若两点分别为 M (x, y,z) ，o(0,0,0) 2 2 2 d = oM = x + y + z 例 1：求证以 (4,3,1) M1 、 (7,1,2) M2 、 (5,2,3) M3 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。 证明: (4 7) (3 1) (1 2) 14 2 2 2 2 M1M 2 = − + − + − = (5 7) (2 1) (3 2) 6 2 2 2 2 M 2M3 = − + − + − = (5 4) (2 3) (3 1) 6 2 2 2 2 M3M1 = − + − + − = 由于 M2M3 = M3M1 ，原结论成立。 例 2：设 P 在 x 轴上，它到 (0, 2,3) P1 的距离为到点 (0,1, 1) P2 − 的距离的两倍，求点 P 的坐 标。 解：因为 P 在 x 轴上，设 P 点坐标为 (x,0,0) ( 2) 3 11 2 2 2 2 PP1 = x + + = x + ( 1) 1 2 2 2 2 2 PP2 = x + − + = x + PP1 = 2PP2 11 2 2 2 2 x + = x + x = 1 所求点为： (1,0,0)， (−1,0,0) 小结：空间直角坐标系（轴、面、卦限） 空间两点间距离公式 作业：
第二节向量及其运算 教学目的:使学生对(自由)向量有初步了解,为后继内容的学习打下基础。 教学重点:1.向量的概念 2.向量的运算 教学难点:向量平行与垂直的关系 教学内容: 向量的概念 1.向量:既有大小,又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量,其长度表示向 量的大小,其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量(以后简称向量) 2.量的表示方法有:a、i、F、OM等等 3.向量相等a=b:如果两个向量大小相等,方向相同,则说(即经过平移后能完全 重合的向量) 4.的模:向量的大小,记为,、pV 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5.量平行a∥b:两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平 6.负向量:大小相等但方向相反的向量,记为-a 二、向量的运算 1.加减法a+b=c:加法运算规律:平行四边形法则(有 时也称三角形法则),其满足的运算规律有交换率和结合率见图 7-4 图7-4加法运算图 2.a-b=c即a+(-b)=c 3.向量与数的乘法Aa:设是一个数,向量a与A的乘积Aa规定为 (1)λ>0时,M与a同向,|aa=A|a (2)λ=0时, 0 (3)A<0时,与a反向,|nHA‖al
第二节 向量及其运算 教学目的：使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.向量的概念 2.向量的运算 教学难点：向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向 量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2． 量的表示方法有: a 、 i 、 F 、 OM 等等。 3． 向量相等 a = b：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全 重合的向量）。 4． 量的模：向量的大小，记为 a 、 OM 。 模为 1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5． 量平行 a // b ：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平 行。 6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为−a 二、向量的运算 1．加减法 a + b = c ：加法运算规律：平行四边形法则（有 时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图 7－4 图 7－4 加法运算图 2． a −b = c 即 a + (−b) = c 3．向量与数的乘法 a ：设 是一个数，向量 a 与 的乘积 a 规定为 (1) 0 时， a 与 a 同向， | a |= | a | (2) = 0 时， a = 0 (3) 0 时， a 与 a 反向， | a |=| || a | a b c
其满足的运算规律有:结合率、分配率。设a表示与非零向量a同方向的单位向量,那么 定理1:设向量a≠0,那么,向量b平行于a的充分必 要条件是:存在唯一的实数A,使b=Aa 例1:在平行四边形ABCD中,设AB=a,AD=b,试用a 和b表示向量MA、MB、MC和MD,这里M是平行四边 形对角线的交点。(见图7-5) 图7-4 解:a+b=AC=2AM,于是MA=-(a+b) 2*b 由于MC=-MA,于是MC=-(a 又由于-a+b=BD=2MD,于是Ml 由于MB=-MD,于是MB=-(b-a) 小结:本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识,引导学生对向量(自由 向量)有清楚的理解,并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算 作业:作业卡P72~P73
其满足的运算规律有：结合率、分配率。设 0 a 表示与非零向量 a 同方向的单位向量，那么 a a a 0 = 定理 1：设向量 a≠0，那么，向量 b 平行于 a 的充分必 要条件是：存在唯一的实数λ，使 b＝a 例 1：在平行四边形 ABCD 中，设 AB = a ，AD = b ，试用 a 和 b 表示向量 MA、MB 、MC 和 MD ，这里 M 是平行四边 形对角线的交点。（见图 7－5） 图 7－4 解： → → a + b = AC = 2 AM ，于是 ( ) 2 1 = − a + b → MA 由于 → → MC = − MA ， 于是 ( ) 2 1 = a + b → MC 又由于 → → − a + b = BD = 2MD ，于是 ( ) 2 1 = b − a → MD 由于 → → MB = − MD ， 于是 ( ) 2 1 = − b − a → MB 小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由 向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。 作业：作业卡 P72~P73
第三节向量的坐标 教学目的:进一步介绍向量的坐标表示式、为空间曲面等相关知识打好基础。 教学重点:1.向量的坐标表示式 2.向量的模与方向余弦的坐标表示式 教学难点:1.向量的坐标表示 2.向量的模与方向余弦的坐标表示式 教学内容 向量在轴上的投影 1.几个概念 (1)轴上有向线段的值:设有一轴,AB是轴u上的有向线段,如果数λ满足 =,且当AB与轴同向时是正的,当AB与轴n反向时是负的,那么数叫 做轴u上有向线段AB的值,记做AB,即A=AB。设e是与u轴同方向的单位向量,则 Ab=de (2)设A、B、C是u轴上任意三点,不论三点的相互位置如何,总有AC=AB+B (3)两向量夹角的概念:设有两个非零向量a和b,任取空间一点O,作O4=a OB=b,规定不超过z的∠OB称为向量a和b的夹角,记为(b) (4)空间一点A在轴u上的投影:通过点A作轴的垂直平面,该平面与轴的交点A 叫做点A在轴上的投影。 (5)向量AB在轴l上的投影:设已知向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别 为点A和B,那么轴上的有向线段的值AB叫做向量AB在轴u上的投影,记做 Pr ju ab。 2.投影定理 性质1:向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角q的余弦 Pr i AB=Ab o 性质2:两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和,即
第三节 向量的坐标 教学目的：进一步介绍向量的坐标表示式、为空间曲面等相关知识打好基础。 教学重点：1.向量的坐标表示式 2.向量的模与方向余弦的坐标表示式 教学难点：1.向量的坐标表示 2.向量的模与方向余弦的坐标表示式 教学内容： 一、向量在轴上的投影 1．几个概念 (1) 轴上有向线段的值：设有一轴 u ， AB 是轴 u 上的有向线段，如果数 满足 = AB ，且当 AB 与轴 u 同向时 是正的，当 AB 与轴 u 反向时 是负的，那么数 叫 做轴 u 上有向线段 AB 的值，记做 AB，即 = AB 。设 e 是与 u 轴同方向的单位向量，则 AB = e (2) 设 A、B、C 是 u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有 AC = AB + BC (3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量 a 和 b，任取空间一点 O，作 OA = a ， OB = b，规定不超过 的 AOB 称为向量 a 和 b 的夹角，记为 (a,b) (4) 空间一点 A 在轴 u 上的投影：通过点 A 作轴 u 的垂直平面，该平面与轴 u 的交点 ' A 叫做点 A 在轴 u 上的投影。 (5) 向量 AB 在轴 u 上的投影：设已知向量 AB 的起点 A 和终点 B 在轴 u 上的投影分别 为点 ' A 和 ' B ，那么轴 u 上的有向线段的值 ' ' A B 叫做向量 AB 在轴 u 上的投影，记做 Pr j u AB。 2．投影定理 性质 1：向量在轴 u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角 的余弦： Pr j u AB = AB cos 性质 2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即
j (a+a2)=Pr ja,+ 性质3:向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即 j, (a)=1Pr 、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 1.向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 通过坐标法,使平面上或空间的点与有序数组之 间建立了一一对应关系,同样地,为了沟通数与向量的 研究,需要建立向量与有序数之间的对应关系 设a=MM2是以M1(x1,y2=1)为起点、 M2(x2y2,=2)为终点的向量,i、j、k分别表示 图7-5 沿x,y,z轴正向的单位向量,并称它们为这一坐标系的基本单位向量,由图7-5,并应用 向量的加法规则知 M1M2=(x2-x1)i+(y2-y1)+(=2-1) a=axi+a+ask 上式称为向量a按基本单位向量的分解式。 有序数组ax、ay、a与向量a一一对应,向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、a=就 叫做向量a的坐标,并记为 上式叫做向量a的坐标表示式 于是,起点为M(x12y1,=1)终点为M2(x2,y2,2)的向量可以表示为 M1M2={x2-x1,y2-y1,=2-=1} 特别地,点M(x,y,)对于原点O的向径 OM=(x,y,=) 注意:向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。 向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、a, 向量a在坐标轴上的分向量是三个向量ani、a、ak
a1 a2 a1 a2 j j j Pr u ( + ) = Pr + Pr 性质 3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即 Pr j u (a) = Pr ja 二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之 间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的 研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。 设 a = M1M2 是 以 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 为 起 点 、 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 为终点的向量，i 、j、k 分别 表示 图 7－5 沿 x，y，z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图 7－5，并应用 向量的加法规则知： ( ) 1 2 2 1 M M = x − x i + ( ) 2 1 y − y j+ ( ) 2 1 z − z k 或 a = ax i + ayj + azk 上式称为向量 a 按基本单位向量的分解式。 有序数组 ax、ay、az 与向量 a 一一对应，向量 a 在三条坐标轴上的投影 ax、ay、az 就 叫做向量 a 的坐标，并记为 a ＝ {ax，ay，az}。 上式叫做向量 a 的坐标表示式。 于是，起点为 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 终点为 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 的向量可以表示为 { , , } 1 2 2 1 2 1 2 1 M M = x − x y − y z − z 特别地，点 M (x, y,z) 对于原点 O 的向径 OM ={x, y,z} 注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。 向量 a 在坐标轴上的投影是三个数 ax、ay、az， 向量 a 在坐标轴上的分向量是三个向量 ax i 、 ayj 、 azk
2.向量运算的坐标表示 设a={a B, b=b,, 6,, bB a=a,i+a,j+ak, b=b,i+b,j+bk 则 (1)加法:a+b=(a1+b2)+(a,+b,)+(a2+b2)k ◆减法:a-b=(a1--b)i+(an-b,)+(a2-b.)k ◆乘数:Ma=(a1)i+(a,)j+(a2)k a+b={a1+b, b. b={ax-b2,a,-b,a2-b2} 平行:若a≠0时,向量b∥a相当于b=Aa,即 b,b,b3}=2{a2 也相当于向量的对应坐标成比例即 三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 设a={ax,a,a2},可以用它与三个坐标轴的夹 角α、B、y(均大于等于0,小于等于x)来表示它 的方向,称α、B、y为非零向量a的方向角,见图7 6,其余弦表示形式cosa、cosB、cosy称为方向余 弦 1.模 +a+a 2.方向余弦
2．向量运算的坐标表示 设 { , , } a = ax ay az ， { , , } b = bx by bz 即 a = ax i + ay j + azk ，b = bx i + by j + bzk 则 (1) 加法： a + b = (ax + bx )i + (ay + by ) j + (az + bz )k ◆ 减法： a − b = (ax − bx )i + (ay − by ) j + (az − bz )k ◆ 乘数： a = (ax )i + (ay ) j + (az )k ◆ 或 { , , } a + b = ax + bx ay + by az + bz { , , } a − b = ax − bx ay − by az − bz { , , } a = ax ay az ◆ 平行：若 a≠0 时，向量 b// a 相当于 b = a，即 { , , } { , , } bx by bz = ax ay az 也相当于向量的对应坐标成比例即 z z y y x x a b a b a b = = 三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 设 { , , } a = ax ay az ，可以用它与三个坐标轴的夹 角 、、 （均大于等于 0，小于等于 ）来表示它 的方向，称 、、 为非零向量 a 的方向角，见图 7 －6，其余弦表示形式 cos、cos 、cos 称为方向余 弦。 图 7－6 1． 模 2 2 2 a = ax + ay + az 2． 方向余弦
a,M, Mucosa=lal cosa 由性质1知{a-=M1(os=ae,=2+a+a≠0时,有 a=M,M2 cosy=acos cosa= B coSy aat a ◆任意向量的方向余弦有性质:cos2a+cos2B+cos2y=1 ◆与非零向量a同方向的单位向量为: La,, a, a)=cos a, cos B, cos y) 3.例子:已知两点M(2,2√2)、M(130),计算向量M1M2的模、方向余弦、方向角以 及与M1M,同向的单位向量。 解:M1M2={1-2,32,0√2}=(-1,,-2 √(-)2+12+(-2)2 coSa=一 cosy 2丌 B 设a"为与M1M2同向的单位向量,由于a={cosa,cosB,cosy} 即得 222 小结:本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标(注 意分向量与向量的坐标的区别)、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。 作业:作业卡P72~73
由性质 1 知 = = = = = = cos cos cos cos cos cos 1 2 1 2 1 2 a a a a M M a M M a M M z y x ，当 0 2 2 2 a = ax + ay + az 时，有 + + = = + + = = + + = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos x y z z z x y z y y x y z x x a a a a a a a a a a a a a a a a a a ◆ 任意向量的方向余弦有性质： cos cos cos 1 2 2 2 + + = ◆ 与非零向量 a 同方向的单位向量为： { , , } {cos , cos , cos } 1 = = = a x a y a z a a a a 0 3． 例子：已知两点 M1(2,2, 2 )、M2(1,3,0)，计算向量 M1M2 的模、方向余弦、方向角以 及与 M1M2 同向的单位向量。 解： M1M2 ＝{1-2，3-2，0- 2 }={-1，1，- 2 } ( 1) 1 ( 2) 2 2 2 2 M1M2 = − + + − = 2 1 cos = − ， 2 1 cos = ， 2 2 cos = − 3 2 = ， 3 = ， 4 3 = 设 0 a 为与 M1M2 同向的单位向量，由于 = {cos,cos ,cos} 0 a 即得 } 2 2 , 2 1 , 2 1 = {− − 0 a 小结：本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标（注 意分向量与向量的坐标的区别）、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。 作业：作业卡 P72~73
第四节数量积向量积 教学目的:让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用,掌握向量平行、垂直 等重要的结论,为空间曲面等相关知识打好基础。 教学重点:1.数量积、向量积的概念及其等价的表示形式 2.向量平行、垂直的应用 教学难点:1.活学活用数量积、向量积的各种形式 2.向量平行与垂直的相应结论 教学内容: 、数量积: a)定义:ab=l| b cos0,式中b为向量a与b的夹角 b)物理上:物体在常力F作用下沿直线位移s,力F所作的功为 W=lFscos0 其中b为F与s的夹角 c)性质:1.a·a= l两个非零向量a与b垂直a⊥b的充分必要条件为:a·b=0 Ⅲ.a·b=b·a Ⅳ.(a+b)·c=a·c+bc V.(a)·c=A(a·c) 为数 d)几个等价公式 1.坐标表示式:设a={a2,aa2},b={bx,b,b2}则 a6=a,b+a, b,+a. l投影表示式:ab= arab=|BPa Ⅲ.两向量夹角可以由coO=1,式求解 ab e)例子:已知三点M(1,1,1)、A(22,1)和B(2,1,2),求∠AMB 提示:先求出向量MA4及MA,应用上求夹角的公式
第四节 数量积 向量积 教学目的：让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂直 等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础。 教学重点：1. 数量积、向量积的概念及其等价的表示形式 2.向量平行、垂直的应用 教学难点：1.活学活用数量积、向量积的各种形式 2.向量平行与垂直的相应结论 教学内容： 一、数量积： a) 定义： a b = a b cos ，式中 为向量 a 与 b 的夹角。 b) 物理上：物体在常力 F 作用下沿直线位移 s，力 F 所作的功为 W = F s cos 其中 为 F 与 s 的夹角。 c) 性质：Ⅰ. 2 a a = a Ⅱ.两个非零向量 a 与 b 垂直 a ⊥ b 的充分必要条件为： a b = 0 Ⅲ. a b = ba Ⅳ. (a + b) c = a c + b c Ⅴ. (a) c = (a c) 为数 d) 几个等价公式： Ⅰ.坐标表示式：设 { , , } a = ax ay az ， { , , } b = bx by bz 则 = axbx + ayby + azbz a b Ⅱ.投影表示式： a b = a Pr j ab = b Pr j ba Ⅲ.两向量夹角可以由 a b a b cos = 式求解 e) 例子：已知三点 M(1,1,1)、A(2,2,1)和 B(2,1,2)，求 AMB 提示：先求出向量 → MA 及 → MA ，应用上求夹角的公式
、向量积 a)概念:设向量c是由向量a与b按下列方式定义: c的模=bsnO,式中b为向量a与b的夹角。 c的方向垂直与a与b的平面,指向按右手规则从a转向b。 ※注意:数量积得到的是一个数值,而向量积得到的是向量 b)公式:c=a×b f)性质:|.a×a=0 l两个非零向量a与b平行a∥b的充分必要条件为:a×b=O Ⅲ.a×b=-b×a Ⅳ.(a+b)×c=a×c+b×c V.(m)xc=a×(c)=A(a×c) λ为数 几个等价公式: 1·坐标表示式:设a={ax,ay,a2},b={b,b,b2}则 axb=(a,b.-ab )i(ab-a bj+(ab-a,b)k 行列式表示式:a×b=a,a,a b, b, b d)例子:已知三角形ABC的顶点分别为:A(1,2,3)、B(34,5)和C(2,4,7),求三角 形ABC的面积。 解:根据向量积的定义,SABC= AB AC sin∠Cs AB×AC 由于AB={2,2,2},AC={1,2,4} 因此 ABaC=222=4-6j+2k 于是 SMBC=2 4BxAC=√42+(-6)
二、向量积： a) 概念：设向量 c 是由向量 a 与 b 按下列方式定义： c 的模 c = a b sin ，式中 为向量 a 与 b 的夹角。 c 的方向垂直与 a 与 b 的平面，指向按右手规则从 a 转向 b。 ※注意：数量积得到的是一个数值，而向量积得到的是向量。 b) 公式： c = ab f) 性质：Ⅰ. aa = 0 Ⅱ.两个非零向量 a 与 b 平行 a∥b 的充分必要条件为： ab = 0 Ⅲ. ab = −ba Ⅳ. (a + b) c = a c + b c Ⅴ. (a) c = a (c) = (a c) 为数 c) 几个等价公式： Ⅰ.坐标表示式：设 { , , } a = ax ay az ， { , , } b = bx by bz 则 a b = (aybz − azby )i + (azbx − axbz ) j + (axby − aybx )k Ⅱ.行列式表示式： x y z x y z b b b a a a i j k a b = d) 例子：已知三角形 ABC 的顶点分别为：A(1,2,3)、B(3,4,5)和 C(2,4,7)，求三角 形 ABC 的面积。 解：根据向量积的定义， SABC = AB AC C = AB AC 2 1 sin 2 1 由于 AB ＝{2,2,2}， AC ＝{1,2,4} 因此 i j k i j k 4 6 2 1 2 4 AB AC = 2 2 2 = − + 于是 4 ( 6) 2 14 2 1 2 1 2 2 2 SABC = AB AC = + − + =