§1变分法简介 作为数学的一个分支,变分法的诞生,是现实世界许多现象不断探索的结果,人们可以追寻 到这样一个轨迹 约翰·伯努利( Johann Bernoulli,1667-1748)1696年向全欧洲数学家挑战,提出 个难题:“设在垂直平面内有任意两点,一个质点受地心引力的作用,自较高点下滑至较 低点,不计摩擦,问沿着什么曲线下滑,时间最短?” 这就是著名的“最速降线”问题( The Brachistochrone Problen)。它的难处在于和普通 的极大极小值求法不同,它是要求出一个未知函数(曲线),来满足所给的条件。这问题的 新颖和别出心裁引起了很大兴趣,罗比塔( Guillaume francois antonie de i' Hospital 1661-1704)、雅可比·伯努利( Jacob Bernoulli1654-1705)、莱布尼茨( Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716)和牛顿( Isaac Newton642-1727)都得到了解答。约翰的解法比较 漂亮,而雅可布的解法虽然麻烦与费劲,却更为一般化。后来欧拉( Euler leonhard,107~ 1783)和拉格朗日( Lagrange, Joseph louis,1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法 从而确立了数学的一个新分支一一变分学 有趣的是,在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 ( The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案,即,固定项链的两端,在重力场中让它自 然垂下,问项链的曲线方程是什么。在大自然中,除了悬垂的项链外,我們还可以观察到吊 桥上方的悬垂钢索,挂着水珠的蜘蛛网,以及两根电线杆之间所架设的电线,这些都是悬链 线( catenary) 伽利略( Galileo,1564~1643)比贝努利更早注意到悬链线,他猜测悬链线是抛物线 从外表看的确象,但实际上不是。惠更斯( Huygens,,1629~1695)在1646年(当时17岁), 经由物理的论证,得知伽利略的猜测不对,但那时,他也求不出答案。到1691年,也就是 雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年,莱布尼兹、惠更斯(以62岁)与约翰·伯努利 各自得到了正确答案,所用方法是诞生不久的微积分,具体说是把问题转化为求解一个二阶 常微分方程 dy =yo y(0)=0 解此方程并适当选取参数,得 y=-(e+e 20 即为悬链线 悬链线问题本身和变分法并没有关系,然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的 相互争强好胜、不断争吵的导火索,虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风,但 他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链,在所有可能的形状中,以悬链线的 重心最低,具有最小势能”,算是扳回了一局,俩兄弟扯平了!之所以提到悬链线问题,有 两方面考虑,其一,这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻,而这是一个在变分 法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族,其二,有关悬链线的得几个结论,可以用变
1 §1 变分法简介 作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻 到这样一个轨迹： 约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）1696 年向全欧洲数学家挑战，提出 一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较 低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？” 这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem）。它的难处在于和普通 的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的 新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。约翰的解法比较 漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉（Euler Lonhard，1707～ 1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法， 从而确立了数学的一个新分支——变分学。 有趣的是，在 1690 年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自 然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊 桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链 线（catenary）。 伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线， 从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens, 1629～1695）在 1646 年（当时 17 岁）， 经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到 1691 年，也就是 雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以 62 岁）与约翰·伯努利 各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶 常微分方程 解此方程并适当选取参数，得 ( ) 2 1 ax ax e e a y − = + （1） 即为悬链线。 悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的 相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但 他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的 重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有 两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分 法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的得几个结论，可以用变 = = = + (0) 0 (0) 1 ( ) 0 2 2 2 y y y dx dy a dx d y
分法来证明! 现实中很多现象可以表达为泛函极小问题,我们称之为变分问题。求解方法通常有两种 古典变分法和最优控制论。我们这儿要介绍的基本属于古典变分法的范畴。 1.1变分法的基本概念 1.1.1泛函的概念 设S为一函数集合,若对于每一个函数x(1)∈S有一个实数J与之对应,则称J是定义 在S上的泛函,记作J(x(1)。S称为J的容许函数集 例如,在[x0,x1]上光滑曲线y(x)的长度可定义为 1+ydx 考虑几个具体曲线,取x0=0,x1 若y(x)=x,则 ((x)=(x)=√+lk=√2 若y(x)为悬链线,则 2 2 对应C[x,x1]中不同的函数y(x),有不同曲线长度值J,即J依赖于yx),是定义在 函数集合C[x0,x1]上的一个泛函,此时我们可以写成 J=J((x)) 我们称如下形式的泛函为最简泛函 J(x(t)=F(t,x(o),i(t)dt 被积函数F包含自变量1,未知函数x(t)及导数x(t)。上述曲线长度泛函即为一最简泛函 1.1.2泛函极值问题 考虑上述曲线长度泛函,我们可以提出下面问题: 在所有连接定点A(x0,y0)和B(x1,y1)的平面曲线中,试求长度最小的曲线 即,求y(x)∈u(x)y(x)∈C"[x,x1y(x0)=ya,y(x)=y1},使 取最小值。此即为泛函极值问题的一个例子。以极小值为例,一般的泛函极值问题可表述为, 称泛函J/(x(1)在x0(1)∈S取得极小值,如果对于任意一个与x0(1)接近的x()∈S 都有J(x(m)≥J(x0(D)。所谓接近,可以用距离d(x(1),x0(1)<E来度量,而距离可以定 义为 d(x(1),x0(m))=max{x(t)-x0(t),x(t)-x0()}
2 分法来证明！ 现实中很多现象可以表达为泛函极小问题，我们称之为变分问题。求解方法通常有两种： 古典变分法和最优控制论。我们这儿要介绍的基本属于古典变分法的范畴。 1.1 变分法的基本概念 1.1.1 泛函的概念 设 S 为一函数集合，若对于每一个函数 x(t) S 有一个实数 J 与之对应，则称 J 是定义 在 S 上的泛函，记作 J (x(t)) 。 S 称为 J 的容许函数集。 例如，在 [ , ] 0 1 x x 上光滑曲线 y(x)的长度可定义为 = + 1 0 2 1 x x J y dx （2） 考虑几个具体曲线，取 x0 = 0, x1 =1， 若 y(x) = x ，则 = = + = 1 0 J (y(x)) J (x) 1 1dx 2 若 y(x)为悬链线，则 − − − − − = + = − = + + 1 0 1 0 2 1 4 2 2 ( ) ) 1 2 ( e e dx e e dx e e e e J x x x x x x 对应 [ , ] 0 1 1 C x x 中不同的函数 y(x)，有不同曲线长度值 J，即 J 依赖于 y(x)，是定义在 函数集合 [ , ] 0 1 1 C x x 上的一个泛函，此时我们可以写成 J = J ( y(x)) 我们称如下形式的泛函为最简泛函 = f t t J x t F t x t x t dt 0 ( ( )) ( , ( ), ( )) （3） 被积函数 F 包含自变量 t ，未知函数 x (t)及导数 x (t)。上述曲线长度泛函即为一最简泛函。 1.1.2 泛函极值问题 考虑上述曲线长度泛函，我们可以提出下面问题： 在所有连接定点 ( , ) ( , ) 0 0 1 1 A x y 和B x y 的平面曲线中，试求长度最小的曲线。 即，求 0 1 0 0 1 1 1 y(x) y(x) y(x)C [x , x ], y(x ) = y , y(x ) = y ，使 = + 1 0 2 ( ( )) 1 x x J y x y dx 取最小值。此即为泛函极值问题的一个例子。以极小值为例，一般的泛函极值问题可表述为， 称泛函 J (x(t)) 在 x0 (t)S 取得极小值，如果对于任意一个与 ( ) 0 x t 接近的 x(t) S ， 都有 ( ( )) ( ( )) 0 J x t J x t 。所谓接近，可以用距离 ( ( ), ( )) 0 d x t x t 来度量，而距离可以定 义为 ( ( ), ( )) max{| ( ) ( ) |,| ( ) ( ) |} 0 0 0 0 d x t x t x t x t x t x t f t t t = − −
泛函的极大值可以类似地定义。其中x0(1)称为泛函的极值函数或极值曲线 1.1.3泛函的变分 如同函数的微分是增量的线性主部一样,泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函 的自变量,函数x(1)在x0(1)的增量记为 x(D)=x(1)-x0(1) 也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作 △=J(x(1)+ax()-J(x0(D) 如果M/可以表为 △=L(x0(1)ax()+r(x(1),ai(1) 其中L为x的线性项,而r是ax的高阶项,则称L为泛函在x0()的变分,记作 a/(x0(1)。用变动的x(1)代替x0(1),就有&/(x(t)。 泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数a的导数: a(x(o) (x()+aa() (4) 这是因为当变分存在时,增量 △=J(x(1)+aai)-J(x(1))=L(x(1),aox)+r(x(),aax) 根据L和r的性质有 L(x(o), ad)=aL(x(n), ax) lim r(x(O),aax)- lim r(x(),aao=o a→0 所以 J(x+aar) J(x+aa)-j(x) a=0 L(, aa)+r(x, aar) L(, ax=a(x) 1.2泛函极值的相关结论 12.1泛函极值的变分表示 利用变分的表达式(4),可以得到有关泛函极值的重要结论。 泛函极值的变分表示:若J(x(m)在x(1)达到极值(极大或极小),则 a(x0())=0 (5) 证明:对任意给定的a,J(x0+a)是变量a的函数,该函数在a=0处达到极值。根 据函数极值的必要条件知
3 泛函的极大值可以类似地定义。其中 ( ) 0 x t 称为泛函的极值函数或极值曲线。 1.1.3 泛函的变分 如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函 的自变量，函数 x(t) 在 ( ) 0 x t 的增量记为 ( ) ( ) ( ) 0 x t = x t − x t 也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作 ( ( ) ( )) ( ( )) 0 0 J = J x t +x t − J x t 如果 J 可以表为 ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) 0 0 J = L x t x t + r x t x t 其中 L 为 x 的线性项，而 r 是 x 的高阶项，则称 L 为泛函在 ( ) 0 x t 的变分，记作 ( ( )) 0 J x t 。用变动的 x(t) 代替 ( ) 0 x t ，就有 J (x(t)) 。 泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数 的导数： 0 ( ( )) ( ( ) ( )) + = = J x t J x t x t （4） 这是因为当变分存在时，增量 J = J (x(t) + x) − J (x(t)) = L(x(t), x) + r(x(t), x) 根据 L 和 r 的性质有 L(x(t),x) =L(x(t),x) 0 ( ( ), ) lim ( ( ), ) lim 0 0 = = → → x x r x t x r x t x 所以 ( ) ( ) ( ) lim 0 0 J x x J x J x x + − + = → = ( , ) ( ) ( , ) ( , ) lim 0 L x x J x L x x r x x = = + = → 1.2 泛函极值的相关结论 1.2.1 泛函极值的变分表示 利用变分的表达式（4），可以得到有关泛函极值的重要结论。 泛函极值的变分表示：若 J (x(t)) 在 ( ) 0 x t 达到极值（极大或极小），则 J (x0 (t)) = 0 （5） 证明：对任意给定的 x ， ( ) 0 J x +x 是变量 的函数，该函数在 = 0 处达到极值。根 据函数极值的必要条件知
aa(o+ac 再由(4)式,便可得到(5)式。 变分法的基本引理:p(x)∈C[x1,x2],Vm(x)∈C[x12x2],m(x1)=7(x2)=0,有 P(x)n(x)dx =0 则(x)=0,x∈[x,x2] 证明略。 12.2泛函极值的必要条件 考虑最简泛函(3),其中F具有二阶连续偏导数,容许函数类S取为满足端点条件为 固定端点(6)的二阶可微函数 x(t X, x (t1)=x (6) 泛函极值的必要条件:设泛函(3)在xt)∈S取得极值,则x(t)满足欧拉方程 F-F=0 (7) dt 欧拉方程推导:首先计算(3)式的变分: d=(x)+a()a=0 F(1,x(1)+aa(1)x(1)+aa(O)a=0dt [F(, x, x)ax+F(,x, x)ar]dt 对上式右端第二项做分布积分,并利用a(t0)=ax(t1r)=0,有 F(, x, x)ardt F(, x, x)adt dt 所以 f[.-边1 利用泛函极值的变分表示,得 IFr- FAdt=0 因为ax的任意性,及x(t)=x()=0,由基本引理,即得(7) (7)式也可写成 F.-F.-Fx=0 (8) 通常这是关于x(t)的二阶微分方程,通解中的任意常数由端点条件(6)确定 1.2.3几种特殊形式最简泛函的欧拉方程 i)F不依赖于x,即F=F(t,x)
4 ( 0 + ) 0 = 0 = J x x 再由（4）式，便可得到（5）式。 变分法的基本引理： ( ) [ , ] 1 2 x C x x ， ( ) [ , ] 1 2 1 x C x x ，(x1 ) =(x2 ) = 0 ，有 2 1 ( ) ( ) 0 x x x x dx ， 则 ( ) 0, [ , ] 1 2 x x x x 。 证明略。 1.2.2 泛函极值的必要条件 考虑最简泛函（3），其中 F 具有二阶连续偏导数，容许函数类 S 取为满足端点条件为 固定端点（6）的二阶可微函数。 0 0 x(t ) = x ， f f x(t ) = x （6） 泛函极值的必要条件：设泛函（3）在 x(t)∈S 取得极值，则 x(t)满足欧拉方程 x − Fx = 0 dt d F （7） 欧拉方程推导：首先计算（3）式的变分： 0 ( ( ) ( )) + = = J J x t x t + + = = f t t F t x t x t x t x t dt 0 0 ( , ( ) ( ), ( ) ( )) = + f t t Fx t x x x Fx t x x x dt 0 [ ( , , ) ( , , ) ] 对上式右端第二项做分布积分，并利用 x(t 0 ) = x(t f ) = 0 ，有 = − f f t t x t t x F t x x xdt dt d F t x x xdt 0 0 ( , , ) ( , , ) ， 所以 = − f t t x x F xdt dt d J F 0 [ ] 利用泛函极值的变分表示，得 [ ] 0 0 − = f t t x x F xdt dt d F 因为 x 的任意性，及 x(t 0 ) = x(t f ) = 0 ，由基本引理，即得（7）。 （7）式也可写成 F − F − F x − F x = 0 x tx xx xx （8） 通常这是关于 x(t)的二阶微分方程，通解中的任意常数由端点条件（6）确定。 1.2.3几种特殊形式最简泛函的欧拉方程 (i) F 不依赖于 x ，即 F = F(t, x)
这时F2≡0,欧拉方程为F(t,x)=0,这个方程以隐函数形式给出x(1),但它一般不 满足边界条件,因此,变分问题无解 (i)F不依赖x,即F=F(t,x) 欧拉方程为 F2(x)=0 将上式积分一次,便得首次积分F2(t,x)=C1,由此可求出x=(t,c1),积分后得到可能的 极值曲线族 「,c (i)F只依赖于ⅸ,即F=F(x) 这时F=0,F6=0,Fx=0,欧拉方程为 F=0 由此可设x=0或F=0,如果x=0,则得到含有两个参数的直线族x=ct+c2°另外 若F=0有一个或几个实根时,则除了上面的直线族外,又得到含有一个参数c的直线族 x=kt+c,它包含于上面含有两个参数的直线族x=ct+c2中,于是,在F=F(x)情 况下,极值曲线必然是直线族 (iv)F只依赖于x和x,即F=F(x,x) 这时有Fs=0,故欧拉方程为 F 此方程具有首次积分为 F-XF=CI 事实上,注意到F不依赖于t,于是有 F=Fx+F x-xF-xF=xF-F 1.3几个经典的例子 1.3.1最速降线问题 最速降线问题设A和B是铅直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连结A和 的平面曲线中,求一曲线,使质点仅受重力作用,初速度为零时,沿此曲线从A滑行至B的 时间最短。 解将A点取为坐标原点,B点取为B(x1,y),如图1。根据能量守恒定律,质点在曲
5 这时 Fx 0 ，欧拉方程为 Fx (t, x) = 0 ，这个方程以隐函数形式给出 x(t) ，但它一般不 满足边界条件，因此，变分问题无解。 (ii) F 不依赖 x ，即 F = F(t, x ) 欧拉方程为 F (t, x) = 0 dt d x 将上式积分一次，便得首次积分 1 F (t, x) c x = ，由此可求出 ( , ) 1 x = t c ，积分后得到可能的 极值曲线族 x (t c )dt = 1 , (iii) F 只依赖于 x ，即 F = F(x ) 这时 Fx = 0,Ftx = 0,Fxx = 0 ，欧拉方程为 x Fxx = 0 由此可设 x = 0 或 Fxx = 0 ，如果 x = 0 ，则得到含有两个参数的直线族 1 2 x = c t +c 。另外 若 Fxx = 0 有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数 c 的直线族 x = kt+c ，它包含于上面含有两个参数的直线族 1 2 x = c t +c 中，于是，在 F = F(x ) 情 况下，极值曲线必然是直线族。 （iv） F 只依赖于 x 和 x ，即 F = F(x, x ) 这时有 Ftx = 0 ，故欧拉方程为 Fx − x Fxx − x Fxx = 0 此方程具有首次积分为 1 F xF c − x = 事实上，注意到 F 不依赖于 t ，于是有 ( − x ) = x + x − x − x = ( x − Fx ) = 0 dt d F x F dt d F xF F x F x xF x dt d 。 1.3 几个经典的例子 1.3.1 最速降线问题 最速降线问题 设 A 和 B 是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，使质点仅受重力作用，初速度为零时，沿此曲线从 A 滑行至 B 的 时间最短。 解 将 A 点取为坐标原点，B 点取为 B(x1,y1)，如图 1。根据能量守恒定律，质点在曲
线y(x)上任一点处的速度满足(s为弧长) A(0,0) dt 将d=√1+y2(x)t代入上式得 dt 2 y图1最速降线问题 于是质点滑行时间应表为y(x)的泛函 J((x) gy 端点条件为 y0)=0,y(x1)=y1 最速降线满足欧拉方程,因为 y 不含自变量x,所以方程(8)可写作 Fy-Fury-Fryy 等价于 yFr)=0 作一次积分得 1+y2) 令y=clg=,则方程化为 CL=C, SI (1-cos6) 又因 dy de (1-cos 0)de 积分之,得
6 线 y(x) 上任一点处的速度 dt ds 满足（ s 为弧长） A(0, 0) x mgy dt ds m = 2 2 1 将 ds 1 y' (x) dx 2 = + 代入上式得 B(x1,y1) dx gy y dt 2 1 ' 2 + = y 图 1 最速降线问题 于是质点滑行时间应表为 y(x) 的泛函 dx gy y J y x x + = 2 0 2 2 1 ' ( ( )) 端点条件为 1 1 y(0) = 0, y(x ) = y 最速降线满足欧拉方程，因为 y y F y y 2 1 ' ( , ') + = 不含自变量 x ，所以方程（8）可写作 Fy − Fyy ' y'−Fy' y' y' ' = 0 等价于 (F − y'Fy' ) = 0 dx d 作一次积分得 1 2 y(1+ y' ) = c 令 , 2 ' y = ctg 则方程化为 (1 cos ) 2 2 sin 1 ' 2 1 2 1 1 = = − + = c c y c y 又因 d c ctg c d y dy dx (1 cos ) 2 2 2 cos 2 sin ' 1 1 = = = − 积分之，得 2 ( sin ) 2 c c x = − +
由边界条件y(0)=0,可知c2=0,故得 x=-(6-sin 8) (1-cos6) 这是摆线(园滚线)的参数方程,其中常数c1可利用另一边界条件y(x1)=y1来确定 1.3.2最小旋转面问题 最小旋转面问题对于xy平面上过定点A(x1y)和B(x2,y2)的每一条光滑曲线 y(x),绕x轴旋转得一旋转体。旋转体的侧面积是曲线y(x)的泛函J(y(x),易得 J(0(x)∫2(x+y2(x)h 容许函数集可表示为 S=(x)v(x)eC[x, x2]x(x,)=yi,y(x2)=y2) 解因F=y√/1+y"不包含x,故有首次积分 F-yF=y√1+y2-y 化简得y=c1√1+ 令y=sht,代入上式,y=c1√+sh2t=cchn 由于女== C,Shade=cat y' sht 积分之,得x=c1t+c2 消去1,就得到y= C ch=2 这是悬链线方程,适当选择条件(令该悬链线过(0,1a)点,且该点处的切线是水平的) 就可得到(1)。本例说明,对于平面上过两个定点的所有光滑曲线,其中绕x轴旋转所得旋 转体的侧面积最小的是悬链线! 1.3.3悬链线势能最小 1691年,雅可比·伯努利证明:悬挂于两个固定点之间的同一条项链,在所有可能的 形状中,以悬链线的重心最低,具有最小势能。下面我们用变分法证明之。 考虑通过A、B两点的各种等长曲线。令曲线y=f(x)的长度为L,重心坐标为(x,y)
7 由边界条件 y(0) = 0 ，可知 c2 = 0 ，故得 = − = − (1 cos ). 2 ( sin ) 2 1 1 c y c x 这是摆线（园滚线）的参数方程，其中常数 1 c 可利用另一边界条件 1 1 y(x）= y 来确定。 1.3.2 最小旋转面问题 最小旋转面问题 对于 xy 平面上过定点 ( , ) 1 1 A x y 和 ( , ) 2 2 B x y 的每一条光滑曲线 y(x) ，绕 x 轴旋转得一旋转体。旋转体的侧面积是曲线 y(x) 的泛函 J ( y(x)) ，易得 J y x y x y x dx x x ( ( )) 2 ( ) 1 ' ( ) 2 1 2 = + 容许函数集可表示为 1 2 1 1 2 2 1 S = y(x)|y(x)C [x ,x ],y(x ) = y , y(x ) = y 解 因 F = y 1+ y" 不包含 x ，故有首次积分 1 2 2 ' 1 ' ' ' 1 ' ' c y y F y F y y y y y = + − = + − 化简得 2 1 y = c 1+ y' 令 y' = sht ，代入上式， y c sh t c cht 1 2 = 1 1+ = 由于 c dt sht c shtdt y dy dx 1 1 ' = = = 积分之，得 1 2 x = c t + c 消去 t ，就得到 1 2 1 c x c y c ch − = 。 这是悬链线方程，适当选择条件（令该悬链线过（0，1/a）点，且该点处的切线是水平的） 就可得到（1）。本例说明，对于平面上过两个定点的所有光滑曲线，其中绕 x 轴旋转所得旋 转体的侧面积最小的是悬链线！ 1.3.3 悬链线势能最小 1691 年，雅可比·伯努利证明：悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的 形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能。下面我们用变分法证明之。 考虑通过 A、B 两点的各种等长曲线。令曲线 y＝f(x)的长度为 L，重心坐标为 (x, y)
l= ds 由重心公式有 x11+()2 L 由于只需探讨曲线重心的高低,所以只对纵坐标的公式进行分析,注意到问题的表述,说明 L是常数,不难看出重心的纵坐标是y(x)的最简泛函,记作 J(v(x)=[y(x)1+(y)d 此时对应的欧拉方程(8)可化为 yy-(y)2-1=0 令 解得y2=k(1+p2),k>0,进而得 √k(x 此即为悬链线,它使重心最低,势能最小!大自然中的许多结构是符合最小势能的,人们称 之为最小势能原理。 14泛函极值问题的补充 14.1泛函极值的几个简单推广 (i)含多个函数的泛函 使泛函 J(x)=(x))= F(x,y, y, i,= )dx 取极值且满足固定边界条件 (x1)=y12y(x2)=y2,=(x1)==12x(x2 的极值曲线y=y(x),z=2(x)必满足欧拉方程组 d F-F.=0 (i)含高阶导数的泛函 使泛函 J(y(x)= F(x, y,y, y")d 取极值且满足固定边界条件
8 则 = = + b a b a dx dx dy L ds 2 1 ( ) 由重心公式有 L dx dx dy x x b a + = 2 1 ( ) ， L dx dx dy y y b a + = 2 1 ( ) 由于只需探讨曲线重心的高低，所以只对纵坐标的公式进行分析，注意到问题的表述，说明 L 是常数，不难看出重心的纵坐标是 y(x)的最简泛函，记作 = + b a J y x y x y dx 2 ( ( )) ( ) 1 ( ) 此时对应的欧拉方程（8）可化为 ( ) 1 0 2 yy − y − = 令 dx dy p = 解得 (1 ), 0 2 2 y = k + p k ，进而得 [ ( )] 1 ch k x c k y = + 。 此即为悬链线，它使重心最低，势能最小！大自然中的许多结构是符合最小势能的，人们称 之为最小势能原理。 1.4 泛函极值问题的补充 1.4.1 泛函极值的几个简单推广 （ⅰ）含多个函数的泛函 使泛函 = 2 1 ( ( ), ( )) ( , , ' , , ') x x J y x z x F x y y z z dx 取极值且满足固定边界条件 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) . 1 1 2 2 1 1 2 2 y x = y y x = y z x = z z x = z 的极值曲线 y = y(x),z = z(x) 必满足欧拉方程组 − = − = 0 0 ' ' z z y y F dx d F F dx d F （ii）含高阶导数的泛函 使泛函 = 2 1 ( ( )) ( , , ' , ") x x J y x F x y y y dx 取极值且满足固定边界条件
y(x1)=y1,y(x2)=y2,y(x1)=y1,y(x2)=y2 的极值曲线y=y(x)必满足微分方程 Fy-,Fy F.=0 (i)含多元函数的泛函 设x(x,y)∈c2,(x,y)∈D,使泛函 (=(x, D)=[FC Dandy 取极值且在区域D的边界线l上取已知值的极值函数二=x(x,y)必满足方程 F-F-F=0 上式称为奥式方程。 142端点变动的情况(横截条件) 设容许曲线x()在t0固定,在另一端点t=1时不固定,是沿着给定的曲线x=v(1)上 变动。于是端点条件表示为 X x(1)=v() 这里t是变动的,不妨用参数形式表示为 寻找端点变动情况的泛函极值必要条件,可仿照前面端点固定情况进行推导,即有 (t,x+aox, i+aa)dt (F,-FM山+F(+F, (9) 再对(9)式做如下分析 (i)对每一个固定的t,x()都满足欧拉方程,即(9)式右端的第一项积分为零 (ⅱ)为考察(9)式的第二、第三项,建立d,与a,之间的关系,因为 x(t,+adt )+aa(t, +adt,)=v(t, +adt,) 对a求导并令a=0得 x(t,)dt,+&x
9 1 1 y(x ) = y , 2 2 1 1 2 2 y（x ）= y ，y'(x ) = y' , y'(x ) = y' 的极值曲线 y = y(x) 必满足微分方程 " 0 2 2 y − y' + Fy = dx d F dx d F （iii） 含多元函数的泛函 设 z(x, y)c ,(x, y)D 2 ，使泛函 = D J (z(x, y)) F(x, y,z,z x ,z y )dxdy 取极值且在区域 D 的边界线 l 上取已知值的极值函数 z = z(x, y) 必满足方程 = 0 − − x y z z Fz y F x F 上式称为奥式方程。 1.4.2 端点变动的情况（横截条件） 设容许曲线 x(t) 在 0 t 固定，在另一端点 f t = t 时不固定，是沿着给定的曲线 x =(t) 上 变动。于是端点条件表示为 = = ( ) ( ) ( ) 0 0 x t t x t x 这里 t 是变动的，不妨用参数形式表示为 f dt f t = t + 寻找端点变动情况的泛函极值必要条件，可仿照前面端点固定情况进行推导，即有 0 0 ( , , ) 0 = + + + = = J F t x x x x dt f dt f t t f t t t t x t t x Fx xdt F x F dt dt d F f f f = = = − + + 0 ( ) （9） 再对（9）式做如下分析： （i）对每一个固定的 f t ， x(t) 都满足欧拉方程，即（9）式右端的第一项积分为零； （ii）为考察（9）式的第二、第三项，建立 f dt 与 f t t x = 之间的关系，因为 ( ) ( ) ( ) f f f f f dt f x t +dt + x t +dt = t + 对 求导并令 = 0 得 f f t t x t f dtf x t dt f ( ) + =( ) = 即
c=D()-6( (10) 把(10)代入(9)并利用dtr的任意性,得 [F+(v-x)Fl=,=0 (11) (11)式就是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件,称为横截条件。 横截条件有两种常见的特殊情况: (i)当x=v(1)是垂直横轴的直线时,t固定,x()自由,并称x()为自由端点 此时(9)式中d=0及x_的任意性,便得自由端点的横截条件 (12) (i)当x=v(1)是平行横轴的直线时,t自由,x()固定,并称x(1r)为平动端点 此时ψ=0,(11)式的横截条件变为 xrststf 0 (13) 注意,横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。 143有约束条件的泛函极值 在最优控制系统中,常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题,其典型形式是对动态系 x(1)=f(1,x(1),() (14) 寻求最优性能指标(目标函数) J(l()=o(tr;,x(t1)+|F(1,x(1),()d (15) 其中以()是控制策略,x(1)是轨线,t固定,t及x()自由,x(1)∈R”,()∈Rm(不 受限,充满R″空间),∫,,F连续可微 下面推导取得目标函数极值的最优控制策略'(1)和最优轨线x'(1)的必要条件。 采用拉格朗日乘子法,化条件极值为无条件极值,即考虑 J1(x)=(x(,)[F(x)+2(X(x,n)-t 的无条件极值,首先定义(14)式和(15)式的哈密顿( Hamilton)函数为 H(,x,l,4)=F(t,x,u)+(1)f(t,x,l) (19)(17) 将其代入(16)式,得到泛函 J(x,u,)=0(t1;,x(t)+[H(t,x,u,)-2+t (20)(18)
10 f f f t t x t x t dt f = [ ( ) − ( )] = （10） 把（10）代入（9）并利用 f dt 的任意性，得 [ + ( − ) ] = = 0 f Fx t t F x （11） （11）式就是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件，称为横截条件。 横截条件有两种常见的特殊情况： （i）当 x =(t) 是垂直横轴的直线时， f t 固定， ( ) f x t 自由，并称 ( ) f x t 为自由端点。 此时（9）式中 dt f = 0 及 f t t x = 的任意性，便得自由端点的横截条件 = = 0 f Fx t t （12） （ii）当 x =(t) 是平行横轴的直线时， f t 自由， ( ) f x t 固定，并称 ( ) f x t 为平动端点。 此时 = 0 ，（11）式的横截条件变为 − = = 0 f Fx t t F x * （13） 注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。 1.4.3 有约束条件的泛函极值 在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系 统 x (t) = f (t, x(t),u(t)) * （14） 寻求最优性能指标（目标函数） = + f t t J u t t f x t f F t x t u t dt 0 ( ( )) ( , ( )) ( , ( ), ( )) * （15） 其中 u(t) 是控制策略， x(t) 是轨线， 0 t 固定， f t 及 ( ) f x t 自由， n x(t) R ， m u(t) R （不 受限，充满 m R 空间）， f ,,F 连续可微。 下面推导取得目标函数极值的最优控制策略 ( ) * u t 和最优轨线 ( ) * x t 的必要条件。 采用拉格朗日乘子法，化条件极值为无条件极值，即考虑 = + + − f t t T J x u t f x t f F t x u t f t x u x dt 0 ( , , ) ( , ( )) [ ( , , ) ( )( ( , , ) )] 1 （16） 的无条件极值，首先定义（14）式和（15）式的哈密顿（Hamilton）函数为 H(t, x,u, ) F(t, x,u) (t) f (t, x,u) T = + （19）（17） 将其代入（16）式，得到泛函 = + − f t t T J x u t f x t f H t x u x dt 0 ( , , ) ( , ( )) [ ( , , , ) ] 1 （20）(18)