第四节函数单调性的判定法 一、单调性的判别法 巴二、单调区间求法 小结思考题
、单调性的判别法 y=f(r) y=f(r) B 0 a bx 0a bx f(x)≥0 f(x)≤0 定理设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可 导.(1)如果在(a,b内f(x)>0,那末函数y=f(x) 在|上单调增加;(2)如果在(a,b)内f(x)<0, 那末函数y=f(x)在[a,b上单调减少 上页
一、单调性的判别法 x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 0 f (x) 0 定理 ( ) [ , ] . [ , ] (2) ( , ) ( ) 0 . 1 ( , ) ( ) 0 ( ) ( ) [ , ] ( , ) 那末函数 在 上单调减少 在 上单调增加； 如果在 内 ， 导（ ）如果在 内 ，那末函数 设函数 在 上连续，在 内 可 y f x a b a b a b f x a b f x y f x y f x a b a b = = = a b B A
证x1,x2∈(a,b,且x0 若在(a,b内,f(x)>0,则f(4)>0 f(x2)>f(x1)∴y=f(x)在a,b上单调增加 若在(a,b内,f(x)<0,则f(5)<0 牛:f(x)<r(x):y=)ab上单调减少 王页下
证 , ( , ), x1 x2 a b , 且 x1 x2 应用拉氏定理,得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 x2 x1 x1 x2 f x − f x = f − 0, x2 − x1 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调增加. 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调减少
例1讨论函数y=e2-x-1的单调性 解∵y=e-1又∵D:(- o+0 2.5 在(-∞,0)内,y30,∴函数单调增加 注意:函数的单调性是一个区间上的性质,要用 导数在这一区间上的符号来判定,而不能用 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性 王页下
例1 解 讨论函数y = e − x − 1的单调性. x = − 1. x y e 在(−,0)内, y 0, 函数单调减少； 在(0,+)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 又D :(−,+)
二、 、单调区间求法 问题:如上例,函数在定义区间上不是单调的, 但在各个部分区间上单调 :若函数在其定义域的某个区间内是单调 的,则该区间称为函数的单调区间 工工工 导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间 的分界点. A方法:用方程∫(x)=0的根及(x)不存在的点 来划分函数∫(x)的定义区间,然后判断区间内导 数的符号. 上页
二、单调区间求法 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 方法: . ( ) , ( ) 0 ( ) 数的符号 来划分函数 的定义区间 然后判断区间内导 用方程 的根及 不存在的点 f x f x = f x
例2确定函数∫(x)=2x3-9x +12x-3的单调区间 3 2 0.5 1 1.5 2 2.5 3 上页
例2 12 3 . ( ) 2 9 3 2 的单调区间 确定函数 + − = − x f x x x
解∵D:(-∞,+∞) f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2) 解方程f'(x)=0得,x1=1,x2=2. 王当一x时,f(x)>0,:在(a上单调增加 当10,∴在[2,+0)上单调增加; 单调区间为(-∞,1,2l,2,+∞) 上页
解 D :(−,+). ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x − 1)(x − 2) 解方程f (x) = 0 得， 1, 2. x1 = x2 = 当− x 1时，f (x) 0, 在(−,1]上单调增加； 当1 x 2时， f (x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x +时， f (x) 0, 在[2,+)上单调增加； 单调区间为 (−,1]， [1,2]， [2,+)
例3确定函数∫(x)=x2的单调区间 2.5 1.5 4 2 上页
例3 ( ) . 确定函数 f x = 3 x 2 的单调区间3 2 y = x
解∵D:(-∞,+∞) 2 f(x) 33x (x≠0) 当x=0时,导数不存在 当-0,:在+)上单调增加 单调区间为(-∞,0,10,+∞). 上页
解 D :(−,+). , ( 0) 3 2 ( ) 3 = x x f x 当x = 0时,导数不存在. 当− x 0时， 当0 x +时，f (x) 0, 在[0,+)上单调增加； f (x) 0, 在(−,0]上单调减少； 单调区间为 (−,0]， [0,+)
王 出注意:区间内个别点导数为零不影响区间的单调性 例如,y=x3,y1x0=0,但在(-∞,+∞)上单调增加 例4当x>0时,试证x>mn(1+x)成立 证设(x)=x-m(+x,则f(xy+x 工工工 ∫(x)在0,+0)上连续,且(0,+0)可导,f(x)>0, :在0,+∞)上单调增加;f(0)=0, 当x>Q时,x-hn(1+x)>0,即x>ln(1+x) 上页 圆
例4 证 当x 0时,试证x ln(1 + x)成立. 设f (x) = x − ln(1 + x), . 1 ( ) x x f x + 则 = f (x)在[0,+)上连续,且(0,+)可导，f (x) 0, 在[0,+)上单调增加； f (0) = 0, 当x 0时，x − ln(1 + x) 0, 即 x ln(1+ x). 注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但在(−,+)上单调增加