第三节反函数的导数 复合函数的求导法则 反函数的导数 巴二、复合函数的求导法则 巴三、小结思考题
一、反函数的导数 定理如果函数x=q(y)在某区间内单调、可导 且q'(y)≠0,那末它的反函数y=f(x)在对应区间 内也可导,且有 f∫(x)= cp(x) 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数 上页
一、反函数的导数 定理 . ( ) 1 ( ) , ( ) 0 , ( ) ( ) x f x I y y f x x y I x y = = = 内也可导 且 有 且 那末它的反函数 在对应区间 如果函数 在某区间 内单调、可导 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
证任取x∈,给x以增量△x(△x≠0,x+△x∈Ix) 由y=f(x)单调性可知y≠0, Δy1 于是有 △x△x’∵∫(x)连续, →>0(△x→0),又知p'(y)≠0 f(x)=Ain△=im △x→0△x4y→0△x p(y) 即f(x)=1 △ cp(y) 上页
证 , x 任取x I 给x以增量x 由y = f (x)的单调性可知 y 0, 于是有 , 1 y x x y = f (x)连续, y → 0 (x → 0), 又知( y) 0 x y f x x = →0 ( ) lim y y x = → 1 lim 0 ( ) 1 y = . ( ) 1 ( ) y f x 即 = ( 0, ) x x x + x I
士 例1求函数y= arcsin的导数 解 ∵x=sinh∈(兀π 内单调、可导, 22 且( sin y)=cosy>0,∴在Ix∈(-1,)有 (arcsine) = (sin y cosy 1-sin'y 同理可得 (arccos x)==I (arctan x) 1t-r2;(arccot x)=L 1+x 2 上页
例1 求函数 y = arcsin x的导数. 解 ) , 2 , 2 sin 在 ( 内单调、可导 x = y I y − 且 (sin y) = cos y 0, 在I x (−1,1)内有 (sin ) 1 (arcsin ) = y x cos y 1 = y 2 1 sin 1 − = . 1 1 2 − x = . 1 1 (arccos ) 2 x x − 同理可得 = − ; 1 1 (arctan ) 2 x x + = (arcsin x) . 1 1 ( cot ) 2 x x + arc = −
例2求函数y= log x的导数 中解x=n在,∈(+内单调、可导 且(a”)=alma≠0,∴在x∈(0,+0)内有, (oga x= a'InaxIn a 特别地(nx)= 上页
例2 求函数 y log x的导数. = a (a ) = a ln a 0, 且 y y 在 (0,+)内有, x I ( ) 1 (log ) = a y a x a a y ln 1 = . ln 1 x a = 解 = 在 (− ,+ )内单调、可导, y y x a I 特别地 . 1 (ln ) x x =
生二、复合函数的求导法则 定理如果函数u=(x)在点x可导,而y=f() 在点=9(x1)可导,则复合函数y=/lp(x)在点 x可导,且其导数为 dh d==∫(u0)9(x 即因变量对自变量求导等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) 上页
二、复合函数的求导法则 定理 ( ) ( ). , ( ) , [ ( )] ( ) , ( ) 0 0 0 0 0 0 0 f u x dx dy x u x y f x u x x y f u x x = = = = = = 可 导 且其导数为 在 点 可 导 则复合函数 在 点 如果函数 在 点 可 导 而 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
二证由y=f(a)在点可导,∷l △ .=f(uo) △n→0△n △ 故=∫'(un)+a(lima= 0) △u △→>0 则y=f()△+aAn lim △ △ limf(uo+a △ △x→>0△△x→>0 X△x =f"(uo)lima+ lim a lim△n △x→>0△X△x→>0△x→>0△ =f(u0)(x0) 上页
证 ( ) , 由y = f u 在点u0可导 lim ( ) 0 0 f u u y u = → ( ) (lim 0) 0 = 0 + = → u f u u y 故 则 y = f (u0 )u +u x y x →0 lim lim[ ( ) ] 0 0 x u x u f u x + = → x u x u f u x x x + = →0 →0 →0 0 ( ) lim lim lim ( ) ( ). u0 x0 = f
王推广设p=f(),=9(吵,"=v(x 上则复合函数y=/{pv(x)导数为 小 y dy du dv d x du dy dx 中例3求函数y=lsix的导数 解y=lnu,u=sinx dy dy du 1 cos =一·coSX =cot x dx du dr u sIn x 上页
推广 设 y = f (u), u = (v), v =(x), . { [ ( )]} dx dv dv du du dy dx dy y f x = 则复合函数 = 的导数为 例3 求函数 y = lnsin x的导数. 解 y = ln u, u = sin x. dx du du dy dx dy = x u cos 1 = x x sin cos = = cot x
王例求函数=(x2+1)9的导数 "解 小y =10(x2+1)·(x2+1) dx =10(x2+1)·2x=20x(x2+1) 例5求函数ya2-x+? arcsin的导数. > 0 解 y=(√a2-x2)+(arm大 x2575 2 2 2 一x 2√a2-x22 - 上页
例 4 ( 1) . 求函数 y = x2 + 1 0 的导数 解 10( 1) ( 1) 2 9 2 = x + x + dx dy 10 ( x 1 ) 2 x 2 9 = + 20 ( 1 ) . 2 9 = x x + 例 5 arcsin . 2 22 求函数 2 2 的导数 a a x a x x y = − + 解 arcsin ) 2 ) ( 2( 2 2 2 = − + a a x a x x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 21 a x a a x x a x − + − = − −. 2 2 = a − x (a 0)
2 牛例6求函数y=3x2(x>2的导数 解y=Im(x2+1)-n(x-2), 2 3 y2x+12xx-2)=x2+1x-2 例7求函数y=ex的导数 解y=c“(siny=ecx(x SIn sIn一 =-ex·coS— 上页
例 6 ( 2) . 21 ln 3 2 求函数 的导数 −+ = x xx y 解 ln( 2), 31 ln( 1) 21 2 y = x + − x − 3( 2) 1 2 1 1 21 2 − − + = x x x y 3( 2) 1 1 2 − − + = x x x 例 7 . 1 sin 求函数 y = e x 的导数 解 ) 1 (sin 1 sin = x y e x ) 1( 1 cos 1 sin = x x e x . 1 cos 1 1 sin 2 x e x x = −