第 最大值、最小值问题 最值的求法 巴二、应用举例 巴三、小结思考题
、最值的求法 若函数f(x)在[a,b上连续,除个别点外处处可导 并且至多有有限个导数为零的点,则f(x)在[a,b 上的最大值与最小值存在 J J bxo a b x 0 a bx 上页
一、最值的求法 o x y o x y a b o x y a b a b . ( ) [ , ] ( ) [ , ] 上的最大值与最小值存在 并且至多有有限个导数为零的点，则 在 若函数 在 上连续，除个别点外处处可导， f x a b f x a b
步骤 1求驻点和不可导点; 2求区间端点及驻点和不可导点的函数值比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; 王注意:如果区间内只有一个极值则这个极值就 是最值最大值或最小值) 上页
步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
生三、应用举例 中例1求函数y=2x+3x2-1x+14的在-34 上的最大值与最小值 生解∵/r()=0x+2(x-) 庄解方程f(x)=0得x=22=1 牛计算(3)=23(2)=3 f∫(1)=7; f(4)=142; 上页
二、应用举例 例1 解 f (x) = 6(x + 2)(x −1) . 2 3 12 14 [ 3,4] 3 2 上的最大值与最小值 求函数 y = x + x − x + 的在 − 解方程 f (x) = 0,得 2, 1. x1 = − x2 = 计算 f (−3) = 23; f (−2) = 34; f (1) =7; f (4) =142;
y 70 y=2x3+3x2-12x+14 60 50 40 30 10 X 3 1 c比较得最大值f(4)=142,最小值∫()=7 上页
比较得 最大值 f (4) = 142，最小值 f (1) = 7. 2 3 12 14 3 2 y = x + x − x +
例2敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米分钟 的速度向正北逃窜,同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击, 速度为2千米分钟 问我军摩托车何 工工工 时射击最好(相 距最近射击最好)? 点击图片任意处播放暂停 上页
点击图片任意处播放\暂停 例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟． 问我军摩托车何 时射击最好（相 距最近射击最好）？
王解(建立敌我相距函数关系 设t为我军从B处发起 追击至射击的时间分).0.5公里 敌我相距函数s(t) B s()=√(0.5+1)2+(4-2) 4公里 (2)求s=()的最小值点 5t-7.5 s'(t)= (0.5+0)2 令s(t)=0, t)+(4-2) 得唯一驻点t=1.5. 故得我军从B处发起追击后15分钟射击最好 上页 圆
解 0.5公里 (1)建立敌我相距函数关系 追击至射击的时间(分). 设 t 为我军从B处发起 敌我相距函数 2 2 s(t) = (0.5 + t) + (4 − 2t) 4公里 B A s(t) s(t) (2) 求s = s(t)的最小值点. s(t) = . (0.5 ) (4 2 ) 5 7.5 2 2 t t t + + − − 令s(t) = 0, 得唯一驻点 t = 1.5. 故得我军从B处发起追击后1.5 分钟射击最好
实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数 (2)求最值; 若目标函数只有唯一驻点,则该点的 函数值即为所求的最(或最小)值 上页
实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最值; 函数值即为所求的最 或最小 值． 若目标函数只有唯一驻点，则该点的 ( )
王 上例3某房地产公司有5套公寓要出租,当租金定 为每月180元时,公寓会全部租出去.当租 中金每月增加0元时,就有一套公寓租不出去, 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费.试问房租定为多少可获得最大收入? 王解设房租为每月x元 租出去的房子有50 x-180 套, 10 王每月总收入为 x-180 R(x)=(x-20)50 10 上页
例3 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租 金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费．试问房租定为多少可获得最大收入？ 解 设房租为每月 x 元， 租出去的房子有 套， − − 10 180 50 x 每月总收入为 R(x) = (x − 20) − − 10 180 50 x
R(x)=(x-20)68 10 R'(x)=68- 1 +(x-20) =70一 10 10 x-5 R(x)=0→x=350(唯一驻点) 故每月每套租金为350元时收入最高。 最大收入为R(x)=(350-2068~350 10 =10890(元) 上页
= − − 10 ( ) ( 20) 68 x R x x + − − = − 10 1 ( 20) 10 ( ) 68 x x R x 5 70 x = − R(x) = 0 x = 350 （唯一驻点） 故每月每套租金为350元时收入最高。 最大收入为 = − − 10 350 R(x) (350 20) 68 = 10890 (元)