第六节极限运算法则 嘠一、极限运算法则 二、求极限方法举例 四三、小结思考题
、极限运算法则 上定理设imf(x)=A,img(x)=B,则 (1)imlf(x)±g(x)=A±B (2)Iim[f(x)·g(x)=A·.B; (3) lim f(r)A 其中B≠0 g(x) B 证∵lim∫(x)=A,limg(x)=B. f(x)=A+α,g(x)=B+β.其中α→>0,β→0 由无穷小运算法则得 上页
一、极限运算法则 定理 , 0. ( ) ( ) (3) lim (2) lim[ ( ) ( )] ; (1) lim[ ( ) ( )] ; lim ( ) ,lim ( ) , = = = = = B B A g x f x f x g x A B f x g x A B f x A g x B 其中 设 则 证 lim f (x) = A, lim g(x) = B. f (x) = A + , g(x) = B + . 其中 → 0, → 0. 由无穷小运算法则,得
If(x)±g(x)1-(±B)=a±β→>0.∴(1)成立 cf(x),g(x)-(4,B)=(4+a)(B+B)-AB 4s(4B+Ba)+aB→0. (2)成立 (s)42A+a-4=B04BB-/→ g(x)BB+βBB(B+β) 工工 又:B→0,B≠0,38>0,当0B B B 2 2 上页
[ f (x) g(x)]− (A B) = → 0. (1)成立. [ f (x) g(x)]− (A B) = (A+ )(B + ) − AB = (A + B) + → 0. (2)成立. B A g x f x − ( ) ( ) B A B A − + + = ( + ) − = B B B A B − A → 0. 又 → 0,B 0, 0, 0 , 当 x − x0 时 , 2 B B + B − B B 2 1 − B 2 1 =
B(B+B>B2,故 3 B(B+B)B2 有界, .(3)成立 庄推论1如果Im∫(x)存在而为常数则 limcf()=clim f(x) 常数因子可以提到极限记号外面. 王推论2如果mf(x)在,而n是正整数则 limf(xl=lim f()l 上页
推论1 lim[ ( )] lim ( ). lim ( ) , , cf x c f x f x c = 如果 存在 而 为常数 则 常数因子可以提到极限记号外面. lim[ ( )] [lim ( )] . lim ( ) , , n n f x f x f x n = 推论2 如果 存在 而 是正整数 则 , 2 1 ( ) 2 B B + B , 2 ( ) 1 2 B B B + 故 有界， (3)成立
生三、求极限方法举例 例1求lim x3-1 x→2x2-3x+5 F lim(x2-3x+5)=lim -lim 3x+ lim5 2 x→ x→ (limx)2-3limx+lim5 x→2 x→2 x→>2 =22-3·2+5=3≠0 x3-1 mx3-lim1 2 x→2 23-1 ∴lim x→2x2-3x+5lim(x2-3x+5)33 x→2 上页
二、求极限方法举例 例1 . 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x 求 解 lim( 3 5) 2 2 − + → x x x lim lim3 lim5 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x (lim ) 3lim lim5 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x 2 3 2 5 2 = − + = 3 0, 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x lim( 3 5) lim lim1 2 2 2 3 2 − + − = → → → x x x x x x . 3 7 = 3 2 1 3 − =
上小结:1.设f( f(x)=a0x"+a1x"+…+an,则有 lim f (x)=ao(lim x)+a(lim x)+.+a x→x x→>x0 x→x =ax"+a1x+…+an=f(x0) 2改以P(x),且Q(x)≠0,则有 e(x) lim f(r)=0 lim P(x) P(ro) =f(x0) x→>xo lim o(x) (o) → 0 若Q(x0)=0,则商的法则不能应用 上页
小结: 1.设 f (x) = a0 x n + a1 x n−1 ++ an ,则有n n x x n x x x x f x = a x + a x + + a − → → → lim ( ) 0 ( lim ) 1 ( lim ) 1 0 0 0 n n n = a x + a x + + a − 1 0 0 1 0 ( ). x0 = f 设 , 且 ( ) 0, 则有 ( ) ( ) 2. ( ) = Q x0 Q x P x f x lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 Q x P x f x x x x x x x → → → = ( ) ( ) 0 0 Q x P x = ( ). x0 = f ( ) 0, . 若Q x0 = 则商的法则不能应用
4x-1 例2求m,2+2x-3 x→1 解im(x2+2x-3)=0,商的法则不能用 又:im(4x-1)=3≠0, ix2+2r-30 ==0. x→1 4x-13 由无穷小与无穷大的关系,得 4x-1 m O。 x→1x2+2x-3 上页
解 lim( 2 3) 2 1 + − → x x x = 0, 商的法则不能用 lim(4 1) 1 − → x x 又 = 3 0, 4 1 2 3 lim 2 1 − + − → x x x x 0. 3 0 = = 由无穷小与无穷大的关系,得 例2 . 2 3 4 1 lim 2 1 + − − → x x x x 求 . 2 3 4 1 lim 2 1 = + − − → x x x x
例3求lm x2-1 x2+2x-3 解x→时,分子,分母的极限都是零 00 型) 先约去不为零的无穷小因子x-1后再求极限 x2-1 (x+1)(x-1) m =Im x少x2+2x-3x(x+3)(x-1) =lim E+I (消去零因子法) →1x+32 上页
解 例3 . 2 3 1 lim 2 2 1 + − − → x x x x 求 x →1时,分子,分母的极限都是零. 先约去不为零的无穷小因子x − 1后再求极限. ( 3)( 1) ( 1)( 1) lim 2 3 1 lim 1 2 2 1 + − + − = + − − → → x x x x x x x x x 3 1 lim 1 + + = → x x x . 2 1 = ) 0 0 ( 型 (消去零因子法)
2x3+3x2+5 例4求im-3 x→>∞7x+4x2-1 解x→∞时,分子,分母的极限都是无穷大(—型) 先用x3去除分子分母分出无穷小再求极限 2+ 2x3+3x2+5 × 32 lim =m x→7x3+4x2-1x→ 7+ 3 (无穷小因子分出法) 王页下
例4 . 7 4 1 2 3 5 lim 3 2 3 2 + − + + → x x x x x 求 解 x → 时, 分子,分母的极限都是无穷大.( 型 ) , , . 先用x 3去除分子分母分出无穷小再求极限 3 3 3 2 3 2 4 1 7 3 5 2 lim 7 4 1 2 3 5 lim x x x x x x x x x x + − + + = + − + + → → . 7 2 = (无穷小因子分出法)
小结:当a0≠0,b≠0,m和n为非负整数时有 ,当n=m 0 xa, lim +…+am=0,当n>m, x→bx"+b1x+…+bn Q,当n<m, 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限 上页
小结: 当a0 0,b0 0,m和n为非负整数时有 = = + + + + + + − − → , , 0, , , , lim 0 0 1 0 1 1 0 1 n m n m n m b a b x b x b a x a x a n n n m m m x 当 当 当 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限