(数学模些) 第七章差分方程模型 7,Ⅰ_市场经济中的蛛网模型 7.2减肥计划——节食与运动 73差分形式的阻滞增长模型 7.4按年龄分组的种群增长
第七章 差分方程模型 7.1 市场经济中的蛛网模型 7.2 减肥计划——节食与运动 7.3 差分形式的阻滞增长模型 7.4 按年龄分组的种群增长
(数学模些) 7.Ⅰ市场经济中的蛛网模型 供大于求价格下降|减少产量 现象 数量与价格在振荡 增加产量 价格上涨 供不应求 描述商品数量与价格的变化规律 问 题商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
7.1 市场经济中的蛛网模型 供大于求 价格下降 减少产量 现 象 问 题 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定 增加产量 价格上涨 供不应求 数量与价格在振荡 描述商品数量与价格的变化规律
(数学模些) 蛛网模型 k第时段商品数量;yk~第k时段商品价格 消费者的需求关系口需求函数V=f(x)减函数 生产者的供应关系口供应函数xk+1=h(yk)增函数 Vk =g(xk g g的交点 Po(roy)~平衡点 J 则y k+1k+2,…=x0yk+1yk+2,…=yo
蛛网模型 xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格 ( ) k k 消费者的需求关系 需求函数 y = f x 减函数 g x0 y0 P0 f x y 0 供应函数 ( ) k 1 k x = h y + ( ) k = k +1 y g x 生产者的供应关系 增函数 f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0, xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0
数学模些) 蛛网模型y=f(x)xn1=y)节=8(x) 设x1偏离x0 x1>y→>x2→>y2→>x3→ xX→ k 0,Vk → x xo, Vk x yo B,→P→P∴→PP→P→P→…冷P 0 P是稳定平衡点 P是不稳定平衡点 曲线斜率 KK g 0 20-3
( ) k = k+1 ( ) y g x k 1 k x =h y + ( ) k k 蛛网模型 y = f x x1 → y1 → x2 → y2 → x3 →L P1 → P2 → P3 → L → P0 0 0 x x , y y k → k → 0 0 x x , y y k ×→ k →× P1 → P2 → P3 → L →× P0 设x1偏离x0 P0是稳定平衡点 P0是不稳定平衡点 x y 0 f g y0 x0 P0 x1 x2 y P2 1 P1 y2 P3 P4 x3 y3 K f K g x y 0 y0 x0 P0 f g
(数学模些) 方程模型在P点附近用直线近似曲线 y=f(x)x→y k-y0=-a(xk-x)(> kil =h(yk)a xk+l-xo=B(k-yo)(B>0 x1-x0==0(x4-x)x1-x0=(-/B)(x1-x) aB1a>1B2xk→>∞0P不稳定人>K8 方程模型与蛛网模型的一致a=Kr1/β=K
方程模型 在P0点附近用直线近似曲线 ( ) k k y = f x ( ) ( 0) yk − y0 = −α xk − x0 α > ( ) k 1 k x = h y + ( ) ( 0) xk+1 − x0 = β yk − y0 β > ( ) 1 0 0 x x x x k + − = −αβ k − ( ) ( ) 1 0 1 0 x x x x k k + − = −αβ − 0 x x αβ 1 α >1/ β xk →∞ P K f > K g 0不稳定 α = K f β = Kg 方程模型与蛛网模型的一致 1/
(数学模些) 考察a,B的含义 x第k时段商品数量;yk~第k时段商品价格 Vk-yo=-d( a~商品数量减少1单位,价格上涨幅度 k+1 B(k-yo) β~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量 a~消费者对需求的敏感程度a小,有利于经济稳定 B~生产者对价格的敏感程度B小,有利于经济稳定 αβ<1经济稳定
( ) 0 0 y y x x k − = −α k − α ~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度 ( ) 1 0 0 x x y y k + − = β k − β ~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量 结果解释 考察α , β 的含义 xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格 α ~ 消费者对需求的敏感程度 α小, 有利于经济稳定 β ~ 生产者对价格的敏感程度 β 小, 有利于经济稳定 αβ < 1 经济稳定
数学模型) 结果解释经济不稳定时政府的干预办法 1.使α尽量小,如a=0 需求曲线变为水平y 以行政手段控制价格不变 2使尸尽量小,如B=0 日供应曲线变为竖直 靠经济实力控制数量不变
结果解释 经济不稳定时政府的干预办法 x y 0 y0 g f 1. 使 α 尽量小，如 α=0 需求曲线变为水平 以行政手段控制价格不变 x y 0 x0 g f 2. 使 β 尽量小，如 β =0 供应曲线变为竖直 靠经济实力控制数量不变
(数学模些) 模型的推广生产者管理水平提高xk=h(yk) 生产者根据当前时段和前一时 段的价格决定下一时段的产量。 2 设供应函数为x1-x0=B[(yV+y)2-y 需求函数不变y-y=-a(x4-x0) 2x,+aBx, +aBx, =2(1+aB)xo,k=1, 2 二阶线性常系数差分方程 0为平衡点研究平衡点稳定,即k-∞,x1→>x0的条件
模型的推广 ( ) k 1 k x = h y + + = − + 2 1 1 k k k y y x h 生产者管理水平提高 • 生产者根据当前时段和前一时 段的价格决定下一时段的产量。 [( )/ 2 ] 1 0 1 0 x x y y y 设供应函数为 k + − = β k + k − − ( ) 0 0 y y x x 需求函数不变 k − = −α k − 2xk +2 +αβxk +1 +αβxk = 2(1+αβ )x0 , k = 1,2,L 二阶线性常系数差分方程 x0为平衡点 研究平衡点稳定，即k→∞, xk→x0的条件
(数学模些) 模型的推广2x2+ax+Bx=2(1+B)x 方程通解xk=c1λ4+c22(c1,c2由初始条件确定) λ、x特征根,即方程2+aB+aB=0的根 平衡点稳定,即k,xx的条件:12<1 aB+v(aB)-8aB 1,2 1.2 4 平衡点稳定条件/B<2 比原来的条件<1放宽了
2 1 0 2x x x 2(1 )x 模型的推广 k + +αβ k + +αβ k = +αβ 方程通解 k k k x c c = 1λ 1 + 2λ 2 (c1, c2由初始条件确定) λ1, 2~特征根，即方程 2 0 的根 2 λ +αβλ +αβ = 1 平衡点稳定，即k→∞, x λ 1 , 2 < k→x0的条件: 4 ( ) 8 2 1,2 αβ αβ αβ λ − ± − = 2 1,2 αβ λ = 平衡点稳定条件 αβ < 2 比原来的条件 αβ < 1 放宽了
(数学模些) 72减肥计划节食与运动 体重指数BMI=(kg)P(m2).18.525~超重;BMI>30~肥胖 景多数减肥食品达不到减肥目标,或不能维持 通过控制饮食和适当的运动,在不伤害身体 的前提下,达到减轻体重并维持下去的目标 分·体重变化由体内能量守恒破坏引起 析。饮食(吸收热量)引起体重增加 代谢和运动(消耗热量)引起体重减少
7.2 减肥计划——节食与运动 背 景 • 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 • 体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.525 ~ 超重; BMI>30 ~ 肥胖. • 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体 的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标 分 析 • 体重变化由体内能量守恒破坏引起 • 饮食（吸收热量）引起体重增加 • 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少