中国科学院：《数值计算方法》第五章（5-1） 函数逼近

第五章函数逼近 与计算 §1引言与预备知识 1.问题的提出 用插值的方法对这一函数进 行近似,要求所得到的插值多项式 经过已知的这n+1个插值节点; 在n比较大的情况下,插值多项式 往往是高次多项式,这也就容易出 现振荡现象(龙格现象),即虽然 在插值节点上没有误差,但在插值 节点之外插值误差变得很大,从 “整体”上看,插值逼近效果将变 得“很差”。于是,我们采用函数逼 近的方法

第五章 函数逼近 与计算 §1 引言与预备知识 1.问题的提出 用插值的方法对这一函数进 行近似,要求所得到的插值多项式 经过已知的这 n＋1 个插值节点; 在 n 比较大的情况下,插值多项式 往往是高次多项式,这也就容易出 现振荡现象（龙格现象），即虽然 在插值节点上没有误差,但在插值 节点之外插值误差变得很大,从 “整体”上看,插值逼近效果将变 得“很差”。于是,我们采用函数逼 近的方法

所谓函数逼近是求一个简单 的函数 y=P(x) ,例如 P(x) 是一个低次多项式,不要求 y=P(x) 通过已知的这n+1个 点,而是要求在整体上“尽量好” 的逼近原函数。这时,在每个已知 点上就会有误差 f∫(xk)-P(xk) k=0,1,2 ,函数逼近就是 从整体上使误差 f(xk)-P(xk)k=0,1,2,…,n 尽 量的小一些

所谓函数逼近是求一个简单 的函数 y P x = ( ) ,例如 P x( ) 是 一 个 低 次 多 项 式 , 不 要 求 y P x = ( ) 通过已知的这 n＋1 个 点,而是要求在整体上“尽量好” 的逼近原函数。这时,在每个已知 点 上 就 会 有 误 差 ( ) ( ) k k f x P x − , k 0 1 2 n = , , , , ,函数逼近就是 从 整 体 上 使 误 差 ( ) ( ) k k f x P x − , k 0 1 2 n = , , , , 尽 量的小一些

2数学描述 “对函数类A中给定的函 数f(x),要求在另一类较简单的 便于计算的函数类B中,求函数 P(x)∈B∈A,使P(x)与(x)之差 在某种度量意义下最小。” 函数类A通常是区间[a,b 上的连续函数,记作CIa,b];函 数类B通常是代数多项式,分式有 理函数或三角多项式。 区间a,b上的所有实连续函 数组成一个空间,记作C[a,b]。 f∈C[a,b的范数定义为 fll=maxf(x)

2.数学描述 “对函数类 A 中给定的函 数 f (x) ，要求在另一类较简单的 便于计算的函数类 B 中，求函数 P(x)  B  A ，使 P(x) 与 f (x) 之差 在某种度量意义下最小。” 函数类 A 通常是区间 [a,b] 上的连续函数，记作 C[a,b] ；函 数类 B 通常是代数多项式，分式有 理函数或三角多项式。 区间 [a,b] 上的所有实连续函 数组成一个空间，记作 C[a,b] 。 f C[a,b] 的范数定义为 f max f (x)  axb =

称其为○一范数,它满足范数 三个性质: ‖f≥0,当且仅当f=0时 才有=0 对任意 f∈C[a,b成立,为任意实数; ⅢI)对任意f8∈C[ab,有 f+;|≤|f+|g II式称为三角不等式。 度量标准最常用的有两种, 种是 f(x) -P(x)=max f(x)-p()

称其为  —范数，它满足范数  的三个性质： I） f  0 ，当且仅当 f  0 时 才有 f = 0 ； II ） af = a f 对任意 f C[a,b] 成立， a 为任意实数； III）对任意 f , g C[a,b] ，有 f g f g +  + . III 式称为三角不等式。 度量标准最常用的有两种，一 种是 ( ) ( ) max ( ) ( ) . a x b f x P x f x P x    − = −

在这种度量意义下的函数逼近称 为一致逼近或均匀逼近; 另一种度量标准是 (x)-FPc米=(x)+Px)]dx 用这种度量的函数逼近称为均方 逼近或平方逼近这里符号及 ‖·l2是范数。本章主要研究在这两 种度量标准下用代数多项式 Pn(x)逼近f(x)∈C[a,b] 3维尔斯特拉斯定理 用Px)一致逼近f(x),首先

在这种度量意义下的函数逼近称 为一致逼近或均匀逼近； 另一种度量标准是 f x P x f x P x x b a ( ) ( ) [ ( ) ( )] d 2 2 − = −  . 用这种度量的函数逼近称为均方 逼近或平方逼近。这里符号   及 2  是范数。本章主要研究在这两 种度量标准下用代数多项式 P (x) n 逼近 f (x) C[a,b] 。 3.维尔斯特拉斯定理 用 P (x) n 一致逼近 f (x) ，首先

要解决存在性问题,即对[a,b上 的连续函数f(x),是否存在多项 式Pn(x)一致收敛于f(x)?维尔 斯特拉斯( Weierstrass)给出了下 面定理: 定理1设f(x)∈C[a,b],则 对任何E>0,总存在一个代数多 项式P(x),使 f(x)-P(x)。<E 在[a,b]上一致成立。 证明:略。(伯恩斯坦构造性证明) 假定函数的定义区间是10,1 可通过线性代换:=(b-a)x+a

要解决存在性问题，即对 [a,b] 上 的连续函数 f (x) ，是否存在多项 式 P (x) n 一致收敛于 f (x) ？维尔 斯特拉斯（Weierstrass）给出了下 面定理： 定理 1 设 f (x) C[a,b] ，则 对任何   0 ，总存在一个代数多 项式 P(x) ，使 −    f (x) P(x) 在 [a,b] 上一致成立。 证明：略。（伯恩斯坦构造性证明） 假定函数的定义区间是[0,1], 可通过线性代换： t b a x a = − + ( )

把x∈[O,1映射到t∈[a,b]。 对给定的∫(x)∈C[O,1,构 造伯恩斯坦多项式此为n次多项 式 Bn(,x)=∑ k k=0 其中(+)(nx2(-x)k k ∑P(x)=1 k=0 这不但证明了定理1,而且给 出了f(x)的一个逼近多项式 B(,x)。多项式Bn(f,x)有良好 的逼近性质,但它收敛太慢,比三

把 x[0,1] 映射到 t a b [ , ] 。 对给定的 f x C ( ) [0,1]  ，构 造伯恩斯坦多项式,此为 n 次多项 式: ( , ) ( ) 0 P x n k B f x f k n k n       = = ； 其中 k n k k x x k n P x − −         ( ) = (1 ) ，且 0 ( ) 1 n k k P x =  = 这不但证明了定理 1，而且给 出 了 f (x) 的 一 个 逼 近 多 项 式 ( , ) B f x n 。多项式 B ( f , x) n 有良好 的逼近性质，但它收敛太慢，比三

次样条逼近效果差得多,实际中很 少被使用。 §2最佳一致逼近多项式 2-1最佳一致逼近多项式的存在 性 切比雪夫从另一观点研究 致逼近问题,他不让多项式次数 趋于无穷,而是固定n,记次 数小于等于n的多项式集合为 显然 h cCla,b]。记 Span ,x,…x是[a,b上一组线性无 关的函数组,是H中的一组基

次样条逼近效果差得多，实际中很 少被使用。 §2 最佳一致逼近多项式 2-1 最佳一致逼近多项式的存在 性 切比雪夫从另一观点研究一 致逼近问题，他不让多项式次数 n 趋于无穷，而是固定 n ，记次 数小于等于 n 的多项式集合为 Hn ，显然 H C[a,b] n  。 记 {1, , , }n H span x x n = , n 1, x,  , x 是 [a,b] 上一组线性无 关的函数组，是 Hn 中的一组基

H中的元素P(x)可表示为 P(x)=a0+a1x+…+anx 其中a0,a1,…,an为任意实数。要 在H1中求P(x)逼近 f(x)∈CIab],使其误差 maxIf()-P(x)=min maxf(x) a<xsb Pn∈Hna≤x≤b 这就是通常所谓最佳一致逼近或 切比雪夫逼近问题。为了说明这 概念,先给出以下定义。 定 义 P2(x)∈Hn(x)∈CIab,称

Hn 中的元素 P (x) n 可表示为 0 1 ( ) n P x a a x a x n n = + + + ， 其中 n a , a , , a 0 1  为任意实数。要 在 Hn 中 求 ( ) * P x n 逼 近 f (x) C[a,b] ，使其误差 max ( ) ( ) min max ( ) ( ) * f x P x f x P x n P H a x b n a x b n n − = −      这就是通常所谓最佳一致逼近或 切比雪夫逼近问题。为了说明这一 概念，先给出以下定义。 定 义 1 P (x) H , f (x) C[a,b] n  n  ，称

A(, P)=f-Pn nl=max f(x)-p(x X≤ 为f(x)与P(x)在[ab]上的偏差。 显然△(,)≥0,△(f,P) 的全体组成一个集合,记为 (,B)},它有下界0。若记集 合的下确界为 En=inf (A(, P))=inf maxIf(x)-pn Pn∈Hn 则称之为f(x)在[,b上最小偏 差 定义2假定f(x)∈C[a,b], 若存在 Pn(x)∈H, 9

( f ,P ) f P max f (x) P (x) n a x b  n = − n = −    为 f (x) 与 P (x) n 在 [a,b] 上的偏差。 显 然 ( , ) 0, ( , ) n n    f P f P 的全体组成一个集合，记为 {( f ,Pn )} ，它有下界 0。若记集 合的下确界为 E inf { ( f ,P )} inf max f (x) P (x), n P H a x b n P H n n n n n =  = −     则称之为 f (x) 在 [a,b] 上最小偏 差。 定义 2 假定 f (x) C[a,b] ， 若存在 n Hn P (x)  *