(数学模些) 第五章微分方程模型 5,1传染病模型 52经济增长模型 5.3正规战与游击战 5.4药物在体内的分布与排除 5.5香烟过滤嘴的作用 5.6人口预测和控制 57烟雾的扩散与消失 58万有引力定律的发现
第五章 微分方程模型 5.1 传染病模型 5.2 经济增长模型 5.3 正规战与游击战 5.4 药物在体内的分布与排除 5.5 香烟过滤嘴的作用 5.6 人口预测和控制 5.7 烟雾的扩散与消失 5.8 万有引力定律的发现
(数学模些) 动态·描述对象特征随时间(空间)的演变过程 模型 分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段 微分 根据函数及其变化率之间的关 方程系,确定函数本身 建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程
动态 模型 • 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段 • 根据函数及其变化率之间的关 系，确定函数本身 微分 方程 建模 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
(数学模些) 5.1传染病模型 问题·描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律, 用机理分析方法建立模型
5.1 传染病模型 问题 • 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
(数学模型 模型1已感染人数(病i(t) 人) 假设 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为元 建模(+△)-i(t)=()△ i i(t) dt 0)=i0t>→-)0? 若有效接触的是病人,必须区分已感染者(病 则不能使病人数增加 人)和未感染者(健康人)
已感染人数（病 i(t) 人） • 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为λ 假设 模型1 建模 i(t + ∆t) − i(t) = λi(t)∆t 0 i(0) i i dt di = = λ t i t i e λ 0 ( ) = t →∞⇒i→∞ ? 必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人) 若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
(数学模些) 模型2区分已感染者病人和未感染者(健康人) 假设1)总人数N不变,病人和健康 SⅠ模型 人的比例分别为i(t),s(t) 2)每个病人每天有效接触人数元~日 为,且使接触的健康人致病接触率 建模N(t+△)-(O=[2s(t)]Ni(t)△t 些=Asi d i(1-i) S(t)+i(t)=1 (0)=io
模型2 区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 i(t), s(t) 假设 SI 模型 2）每个病人每天有效接触人数 为λ, 且使接触的健康人致病 λ ~ 日 接触率 建模 N[i(t + ∆t) − i(t)] = [λs(t)]Ni(t)∆t si dt di = λ = = − 0 ( 0 ) (1 ) i i i i dt di λ s(t) + i(t) = 1
(数学模些) 模型2 di =2i(1-) E Logistic模型 i(0) i()= 1+ t =2- In 仁 ta dild最大 m-传染病高潮到来时刻→>∞→i→1? (日接触率→tn个病人可以治愈!
t e i i t − λ + − = 1 1 1 1 ( ) 0 = = − 0 ( 0 ) (1 ) i i i i dt di λ 1/2 tm i i0 1 0 t = − − 1 1 ln 0 1 i t m λ Logistic 模型 模型2 t=tm, di/dt 最大 t → ∞ ⇒ i →1 ? tm~传染病高潮到来时刻 λ (日接触率)↓ → tm↑ 病人可以治愈！
(数学模些) 模型3传染病无免疫性—病人治愈成 为健康人,健康人可再次被感染 SIS模型 增加假设3)病人每天治愈的比例为H~日治愈率 建模N[i(t+△t)-i(1)]=Ns(t)(t)△t-Ni(t)△t di =i(1-i)-i 元~日接触率 dt i(0)= l/y~感染期 O=/ 个感染期内每个病人的有效接触 人数,称为接触数
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 模型3 SIS 模型 增加假设 3）病人每天治愈的比例为µ µ ~日治愈率 建模 N[i(t + ∆t) − i(t)] = λNs(t)i(t)∆t − µNi(t)∆t = = − − 0 ( 0 ) (1 ) i i i i i dt di λ µ λ ~ 日接触率 1/µ ~感染期 σ = λ / µ σ ~ 一个感染期内每个病人的有效接触 人数，称为接触数
(数学模型 模型3 di =1i(1-1)-o=/, ni-(1 didt O1 接触数σ=1~阈值 0 σ≤1→i() 小→1()按S形曲线增长感染期内有效接触感染的 >1 健康者人数不超过病人数 模型2(SI模型)如何看作模型3(SⅠS模型)的特例
≤ − > ∞ = 0 , 1 , 1 1 1 ( ) σ σ i σ )] 1 [ (1 σ = −λi i − − dt di i0 i0 接触数σ =1 ~ 阈值 σ =λ/µ σ ≤1⇒ i(t) ↓ ⇒ i(t)按S形曲线增长 感染期内有效接触感染的 0小 健康者人数不超过病人数 1 i σ > 1-1/σ i0 i i i dt di = λ (1− ) − µ i di/dt 0 1 σ >1 0 t i σ >1 1-1/σ i 0 t σ ≤1 di/dt < 0 模型3 模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
(数学模些) 模型4传染病有免疫性—病人治愈 SIR模型 后即移出感染系统,称移出者 假设1)总人数N不变,病人、健康人和移 出者的比例分别为i(t),S(t),r(t) 2)病人的日接触率λ,日治愈率山 接触数G=/ 建模S(t)+i(t)+r(t)=1 需建立i(t),S(t),r(t)的两个方程
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者 模型4 SIR模型 1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i(t ), s(t ), r (t ) 假设 2）病人的日接触率λ , 日治愈率µ, 接触数 σ = λ / µ 建模 s(t) + i(t) + r(t) = 1 需建立 i(t ), s(t ), r (t ) 的两个方程
(数学模些) 模型4 SIR模型 N[(t+△)-1()]=ANs(t)i()△t-Ni(t)△t Ns(t+△t)-()=-Ns(t)i(t)△t di =2 SI 无法求出(t),s(t) -a si 的解析解 (0)=io,s(0)=so 在相平面s~i上 +1通常P(0)=很小)研究解的性质
模型 4 SIR模型 N [ i ( t + ∆ t ) − i ( t)] = λNs ( t ) i ( t ) ∆ t − µNi ( t ) ∆ t i 0 + s 0 ≈ 1 (通常 r ( 0 ) = r0很小） 无法求出 的解析解 i ( t), s ( t ) 在相平面 上 研究解的性质 s ~ i N [ s ( t + ∆ t ) − s ( t)] = − λNs ( t ) i ( t ) ∆ t = = = − = − 0 0 i ( 0 ) i , s ( 0 ) s si dt ds si i dt di λ λ µ