第五节高阶导数 高阶导数的定义 巴二、高阶导数求法举例 小结思考题
生一、高阶导数的定义 问题变速直线运动的加速度 设s=f(),则瞬时速度为v(t)=f(t) 加速度a是速度对时间变化率 a(t)=y(t)=[f(). 王定义如果函数(x的导数/x在点处可导即 ('())=lim f'(x+4x)-f'(r) △x→>0 △ 存在则称(f(x)为函数f(x)在点处的二阶导数
一、高阶导数的定义 问题:变速直线运动的加速度. 设 s = f (t), 则瞬时速度为v(t) = f (t) 加速度a是速度v对时间t的变化率 a(t) = v(t) = [ f (t)] . 定义 , ( ( )) ( ) . ( ) ( ) ( ( )) lim ( ) ( ) , 0 存 在 则 称 为函数 在 点 处的二阶导数 如果函数 的导数 在 点 处可导 即 f x f x x x f x x f x f x f x f x x x + − = →
记作f"(x),y d'y-r d' f(r) dx dx 二阶导数的导数称为三阶导数,f"(x), dy dx 三阶导数的导数称为四阶导数,"pa 王一般地函数/(x)的n-1阶导数的导数称为 上函数/(x)的m阶导数记作 f"(x),y,“或4/f(x) 工工 dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 相应地,f(x)称为零阶导数;f'(x)称为一阶导数 上页 圆
记作 . ( ) ( ), , 2 2 2 2 dx d f x dx d y f x y 或 函 数 的 阶导数 记 作 一般地 函 数 的 阶导数的导数称为 ( ) , , ( ) 1 f x n f x n − . ( ) ( ), , ( ) ( ) n n n n n n dx d f x dx d y f x y 或 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地, f (x)称为零阶导数; f (x)称为一阶导数. ( ), , . 3 3 dx d y 二阶导数的导数称为三阶导数 f x y , ( ), , . 4 4 (4) (4) dx d y f x y
生三、高阶导数求法举例 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数 例1设y= arctan x,求f"(0),fm(0) 解y y”=(.1 )-2x 1+y 1+x 2x y"=( 2(3x2-1) 2 (1+x)(1 )3 f"(0)=—-2x 22x=0=0;f"(0) 2(3x2-1) 2. (1+x2) (1+x 2、3|x=0 上页
二、 高阶导数求法举例 例1 设 y = arctan x,求f (0), f (0). 解 2 1 1 x y + = ) 1 1 ( 2 + = x y 2 2 (1 ) 2 x x + − = ) (1 ) 2 ( 2 2 + − = x x y 2 3 2 (1 ) 2(3 1) x x + − = 2 2 0 (1 ) 2 (0) = + − = x x x f 2 3 0 2 (1 ) 2(3 1) (0) = + − = x x x = 0; f = −2. 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数
例2设y=x°(a∈R),求y) 解 a-1 y =or y=(0x)=a(0-1)x 2 y"=(a(-1)x72)=a(a-1)(a-2)x y(n)=a(-1)…(o-n+1)xn(n≥1) 若a为自然数,则 y=(x")=m, (n+1) =(m:)=0 上页
例 2 ( ), . (n) 设 y = x R 求y 解 −1 y = x( ) 1 = − y x 2 ( 1) − = − x 3 ( 1)( 2) − ( ( 1) ) = − − x 2 = − − y x ( 1) ( 1) ( 1) ( ) = − − + − y n x n n n 若为自然数n,则 ( ) ( ) ( ) n n n y = x = n!, ( !) ( 1) = + y n n = 0
王注意:求n阶导数时求出13或4阶后不要急于合并 分析结果的规律性写出n阶导数,(数学归纳法证明) 例3设y=Im(1+x),求ym), 解 = 1+x (1+x)2 2 Ar (4) 3! 1+x) (1+x) y=(-1) n-1 (n-1)! (n≥1,0!=1) (1+x) 上页
例3 ln(1 ), . (n) 设 y = + x 求y 解 注意: x y + = 1 1 2 (1 ) 1 x y + = − 3 (1 ) 2! x y + = 4 (4) (1 ) 3! x y + = − ( 1, 0! 1) (1 ) ( 1)! ( 1) ( ) 1 = + − = − − n x n y n n n 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
例4设y=sinx,求y (n) 解y=c0sx=sin(x+ 2 y"=cos(x+a)=sin(x++o=sin(+2.I 22 y=coS(x +2 2 =sin(x+3· (n)=sin(x +n 2 同理可得(cosx)=cos(x+n 2 上页
例4 sin , . (n) 设 y = x 求y 解 y = cos x ) 2 sin( = x + ) 2 cos( y = x + ) 2 2 sin( + = x + ) 2 sin( 2 = x + ) 2 cos( 2 y = x + ) 2 sin( 3 = x + ) 2 sin( ( ) y = x + n n ) 2 (cos ) cos( ( ) x = x + n n 同理可得
例5设y= e" sin bx(a,b为常数),求y) 解y′= ae" sin bx+ be cos bx =e(asin bx b cos bx) e a+b sin(bx+o)(o=arctan y"=a+b ae sin (bx +op)+be"cos(bx+) √a2+b2·e +b sin(bx +2p) 。。。。 n b y=(a +b)2. e sin(bx nop )(=arctan 上页
例 5 sin ( , ), . ax (n) 设 y = e bx a b为常数 求y 解 y ae bx be bx ax ax = sin + cos e (a sin bx bcos bx) ax = + sin( ) ( arctan ) 2 2 ab e a b bx ax = + + = [ sin( ) cos( )] 2 2 y = a + b ae bx + + be bx + ax ax sin( 2 ) 2 2 2 2 = a + b e a + b bx + ax ( ) sin( ) ( ) 2 2 2 y = a + b e bx + n ax n n ( arctan ) ab =
王2.高阶导数的运算法则 设函数n和具有m阶导数则 (1)(u±v)")=u()±v( 上(2)(Cm)yo=cn n(n一 (3)(uv)=n("v+m("y’+ 1) (n-2)1, 工工工 2 (n-1)…(n-k+1).(m-.,(k) 十 L p+∴+Lp (n) ! ∑Cn k(n-k).(k) L 莱布尼兹公式 =0 王页下
2. 高阶导数的运算法则: 设函数u和v具有n阶导数, 则 ( ) ( ) ( ) (1) ( ) n n n u v = u v ( ) ( ) (2) ( ) n n Cu = Cu ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 2) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (3) ( ) n k k n k k n n k k n n n n n C u v u v uv k n n n k u v n n u v u v nu v − = − − − = + + − − + + − = + + 莱布尼兹公式
例6设y=x2e2,求y12 庄解设n=e2,”=x,则由莱布尼兹公式知 y2)-=(e2)20)·x2+20(e2)y.(x2 20(20-1)2x e (x2)”+0 2r 20g2x·x2+20.2l2x2x 20·19 十 218g2x.2 2! =2e(x2+20x+95) 上页
例 6 , . 2 2 (20) y x e y 设 = x 求 解 设u = e 2 x , v = x2 ,则由莱布尼兹公式知 ( ) ( ) 0 2! 20(20 1) ( ) 20( ) ( ) 2 (18) 2 (20) 2 (20) 2 2 (19) 2 + − + = + e x y e x e x x x x 2 2 2! 20 19 2 20 2 2 18 2 20 2 2 19 2 + = + x x x e e x e x 2 ( 20 95) 20 2 2 = e x + x + x
