第十一节闭区间上连续 函数的性质 最大值和最小值定理 巴二、介值定理 小结思考题
生-、最大值和最小值定理 定义:对于在区间上有定义的函数f(x), 如果有xo∈1,使得对于任—x∈/都有 f∫(x)≤∫(x)(f(x)≥f(x0) 则称f(x0)是函数∫(x)在区间上的最大(小)值 例如,y=1+sinx,在0,2止上,ym=2,Jm=0; y=sgnx,在(-∞,+∞)上,ym=1,ym=-1; 在(0,+∞)上,Jm=ym= 上页
一、最大值和最小值定理 定义: ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ( ) ( )) , ( ), 0 0 0 0 则 称 是函数 在区间 上的最大 小 值 如果有 使得对于任一 都 有 对于在区间 上有定义的函数 f x f x I f x f x f x f x x I x I I f x 例如, y = sgn x,在(−,+)上, 2, ymax = 1; ymin = − 在(0,+)上, 1. ymax = ymin = y = 1+ sin x, 在[0,2]上, 0; ymin = 1, ymax =
定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值 若f(x)∈CIa,b, 则丑51,E2∈a,b, y=f(x) 王便得W 有∫(1)≥f(x) 王f()≤f(x) 5251bx 上注意1若区间是开区间,定理不一定成立; 2若区间内有间断点,定理不一定成立. 王页下
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值. a b 2 1 x y o y = f (x) ( ) ( ). ( ) ( ), [ , ], , [ , ], ( ) [ , ], 2 1 1 2 f f x f f x x a b a b f x C a b 有 使得 则 若 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立
y=f(r) y=f(x ● 12 2 定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界 压证设函数(9连续外 有m≤f(x)≤M,取K=max{m,M}, 则有f(x)≤K.:函数f(x)在a,b上有界 圆[t 上页
x y o y = f (x) 1 2 1 x y o 2 y = f (x) 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界. 证 设函数f (x)在[a,b]上连续, x [a,b], 有 m f (x) M, 取 K = max{m, M }, 则有 f (x) K. 函数f (x)在[a,b]上有界
王三、介值定理 定义:如果x使f(x)=0,则x称为函数 庄f(x零点 王定理3(零点定理)设函数(x)在闭区间 上连续,且()与()异号即r(o,(b)<0, 那末在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零 点即至少有一点(a<E<b,使/(=0 牛即方程∫(x)=0在(a,b内至少存在一个实根 上页
二、介值定理 定理 3(零点定理) 设函数 f (x)在闭区间 a,b 上连续，且 f (a)与 f (b)异号(即 f (a) f (b) 0), 那末在开区间(a,b)内至少有函数f (x)的一个零 点,即至少有一点 (a b)，使 f () = 0. 定义: ( ) . ( ) 0, 0 0 0 的零点 如 果 使 则 称为函数 f x x f x = x 即方程 f (x) = 0在(a,b)内至少存在一个实根
几何解释: 王连续曲线弧y=f(x)两个 端点位于x轴的不同侧则曲 1283bx 线弧与x轴至少有一个交点 定理4(介值定理)设函数f(x)在闭区间[a,b] 工工工 上连续,且在这区间的端点取不同的函数值 ∫(a)=A及∫(b)=B, 上那末,对于A与B之间的任意一个数,在开区间 (a,b)内至少有一点,使得f(5)=C(a<ξ<b
a 3 b 2 1 几何解释: . , ( ) 线弧与 轴至少有一个交点 端点位于 轴的不同侧 则曲 连续曲线弧 的两个 x x y = f x 定理 4(介值定理) 设函数 f (x)在闭区间 a,b 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 f (a) = A 及 f (b) = B , 那末，对于A与B 之间的任意一个数C ，在开区间 (a,b)内至少有一点 ，使得 f ( ) = C (a b). x y o y = f (x)
证设φ(x)=f(x)-C, 则g(x)在ab上连续,B f(r 且(a)=f(a)-C C 4-C 5253x2bx A P(b)=f(b)-C-=B-C, m 工工工 q(a)·g(b)<0,由零点定理,彐5∈(a,b),使 qp()=0,即g()=f()-C=0,∴f(4)=C. 几何解释:连续曲线弧y=∫(x)与水平 直线y=C至少有一个交点 上页
几何解释: M B C A m a x1 1 2 3 x2 b x y o y = f (x) 证 设(x) = f (x) − C, 则(x)在[a,b]上连续, 且(a) = f (a) − C = A − C, (b) = f (b) − C= B − C, (a)(b) 0, 由零点定理, (a,b),使 ( ) = 0, 即( ) = f ( ) − C = 0, f ( ) = C. . ( ) 直线 至少有一个交点 连续曲线弧 与水平 y C y f x = =
推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值M与最小值m之间的任何值 斗例1证明方程x-4x2+1=0在区间(0,内 至少有一根 证令∫(x)=x3-4x2+1,则f(x)在0,上连续, 又∫(0)=1>0,f(1)=-2<0,由零点定理, 彐∈(a,b),使f(5)=0,即ξ3-42+1=0, 方程x3-4x2+1=0在(0,1)内至少有一根 上页
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 与最小值 之间的任何值. 例1 . 4 1 0 (0,1) 3 2 至少有一根 证明方程 x − x + = 在区间 内 证 ( ) 4 1, 3 2 令 f x = x − x + 则f (x)在[0,1]上连续, 又 f (0) = 1 0, f (1) = −2 0, 由零点定理, (a,b), 使 f ( ) = 0, 4 1 0, 3 2 即 − + = 4 1 0 (0,1) . 3 2 方程x − x + = 在 内至少有一根 M m
例2设函数f(x)在区间[a,b上连续,且f(a)b.证明∈(a,b),使得∫(4)= 证令F(x)=f(x)-x,则F(x)在a,b上连续, 而F(a)=∫(a)-a0,由零点定理, 日∈(a,b),使F()=f(4)-5=0, 即f()=2 上页
例2 ( ) . ( , ), ( ) . ( ) [ , ] , ( ) , = f b b a b f f x a b f a a 证 明 使 得 设函数 在区间 上连续 且 证 令 F(x) = f (x) − x, 则F(x)在[a,b]上连续, 而 F(a) = f (a) − a 0, 由零点定理, (a,b), 使 F( ) = f ( ) − = 0, F(b) = f (b) − b 0, 即 f ( ) =
王三、小结 庄四个定理 王有界性定理最值定理介值定理根的存在性定理 注意1.闭区间;2.连续函数 这两点不满足上述定理不一定成立 解题思路 A1直接法先利用最值定理再利用介值定理; 牛2辅助函数法先作辅助函数F再利用零点定理:; 上页
三、小结 四个定理 有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 注意 1．闭区间； 2．连续函数． 这两点不满足上述定理不一定成立． 解题思路 1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理; 2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;