第二节函数的和、差、积 商的求导法则 四一、和、差、积、商的求导法则 巴二、例题分析 小结思考题
、和、差、积、商的求导法则 中定理如果函数x),(x在点处可导则它 们的和、差、积、商分母不为零在点x处也 可导,并且 (1)[u(x)±v(x)=u'(x)±v(x) 工工工 (2)[u(x)·v(x)Y=u'(x)v(x)+u(x)y(x); u(x), u(v(x-u(x)v(x) (3) (v(x)≠0) v2(x) 上页
一、和、差、积、商的求导法则 定理 可 导 并 且 们的和、差、积、商 分母不为零 在 点 处 也 如果函数 在 点 处可导 则 它 , ( ) ( ), ( ) , x u x v x x ( ( ) 0). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) (3)[ (2)[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ); (1)[ ( ) ( )] ( ) ( ); 2 − = = + = v x v x u x v x u x v x v x u x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x
证(1)、(2)略 证(3)设∫(x)= ux ,(v(x)≠0), vlX f(r)=lim/(x+1)-f(x) h→0 h u(x+h u(x) =li v(x+h )w(x) h→>0 h =lil u(x+hv()-u(xv(x+h h→>0 v(x+hv()h 上页
证(3) , ( ( ) 0), ( ) ( ) ( ) = v x v x u x 设 f x h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → v x h v x h u x h v x u x v x h h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 + + − + = → h v x u x v x h u x h h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 − + + = → 证(1)、(2)略
lu(x+h)-u(x)lv(x)u(xlv(x+h)-v() h→>0 v(+hv(x)h u(x+h-u(r (x)-(x),"(+b)-u(x) =lim h h→0 v(x+hv(x) u(x)v(x)-u(x)v(x) v(x)l f(x)在x处可导 上页
v x h v x h u x h u x v x u x v x h v x h ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] lim 0 + + − − + − = → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 v x h v x h v x h v x v x u x h u x h u x h + + − − + − = → 2 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) v x u x v x − u x v x = f (x)在x处可导
推论 中()②fx=∑fx; i=1 i=1 (2)|(x)=C(x); (3)ⅢIf(x)=f1(x)1(x)…fn(x) i=1 工工工 +…+f1(x)2(x)…f(x) =∑Ⅱf(x)k(x); i=1k=1 ≠i 上页
推论 (1) [ ( )] ( ); 1 1 = = = n i i n i fi x f x (2) [Cf (x)] = Cf (x); ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) (3) [ ( )] ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 1 = + + = = = = n i n k i k i k n n n i i f x f x f x f x f x f x f x f x f x
主三、例题分析 例1求y=x3-2x2+sinx的导数 解y'=3x2-4x+cosx 例2求y= sin 2x Inx的导数 解:y=2 sinc. cos x,lnx 工工工 y=2cos x. x In x+ 2 sin x(sin x). Inx +2sin x cos x =2 cos 2xInx+sin 2x 上页
二、例题分析 例1 2 sin . 求 y = x 3 − x 2 + x的导数 解 2 y = 3x − 4x 例2 求 y = sin 2x ln x的导数 . 解 y = 2sin x cos x ln x y = 2cos x cos x ln x+ 2sin x (− sin x) ln x x x x 1 + 2sin cos + cos x. sin 2 . 1 2cos 2 ln x x = x x +
例3求y=tamx的导数 解y=(anx)'= sIn d cos (sin x)'cos x-sin x(cos x) 2 cos cosx+ sinx sec cos 即(anx)=sec2x 同理可得(cotx)=-csc2x 上页
例3 求 y = tan x的导数 . 解 ) cos sin = (tan ) = ( x x y x x x x x x 2 cos (sin ) cos − sin (cos ) = x x x 2 2 2 cos cos + sin = x x 2 2 sec cos 1 = = (tan ) sec . 2 即 x = x (cot ) csc . 2 同理可得 x = − x
例4求y=secx的导数 解y=(eox)y=(-) cos r (cos x) sin x =secx tanx cos cos 同理可得(cscx)=- cscxcot x 例5求y= sinha的导数 解 y=(sinhx =(e=e-xl=e te x)=cosh x 2 同理可得( cosh x)'= sinha tahr)=I cosh x 上页
例4 求 y = sec x的导数 . 解 ) cos 1 = (sec ) = ( x y x x x 2 cos − (cos ) = = sec x tan x. x x 2 cos sin = 同理可得 (csc x) = −csc x cot x. 例5 求 y = sinh x 的导数 . 解 ( )] 2 1 = (sinh ) = [ − x − x y x e e ( ) 2 1 x x e e − = + = cosh x. 同理可得 (cosh x) = sinh x x x 2 cosh 1 (tanh ) =
例6设f(x)=,,x0 In(1+x),x≥0 ,求f(x) 解当x0时, ∫(x)=Iim In(1+x+h)-In(1+x) h→>0 h h lim=In(1+ h→>0 h 1+x 1+x 上页
例 6 , ( ). ln(1 ), 0 , 0 ( ) f x x x x x f x + 设 = 求 解 当 x 0 时 , f ( x ) = 1 , 当 x 0 时 , h x h x f x h ln(1 ) ln(1 ) ( ) lim0 + + − + = → ) 1 ln( 1 1 lim0 x h h h + = + → , 1 1+ x =
当x=0时, ∫"(0)=lim (0+h)-ln(1+0) =1. h→07 ∫(0)=li n1+(0+)l-ln(1+0) in h→0 h ∫'(0)=1 1,x≤0 ∫(x) :’x>0 上页
当x = 0时, h h f h (0 ) ln(1 0) (0) lim 0 + − + = → − − = 1, h h f h ln[1 (0 )] ln(1 0) (0) lim 0 + + − + = + → + = 1, f (0) = 1. . , 0 1 1 1, 0 ( ) + = x x x f x
