第二节洛必达法则 0 型及一型未定式解法:洛必达法则 0 四二、0·∞,∞-∞,09,1°,∞型未定式解法 四三、小结思考题
王一。型及型未定式解法洛必达法则 0 王定义如果当→m(或→四时两个函数(x) 与F(x)都趋于零或都趋于无穷大那末极限 imf(x)称为或”型未定式 工工工 x→aF(x) (x→>∞) an In sin ax oo 例如,im lim x→>0y 0 x→>0 In sin bx 上页
一 、型 及 型未定式解法:洛必达法则 0 0 定义 . 0 0 ( ) ( ) lim ( ) , ( ) , ( ) ( ) 称 为 或 型未定式 与 都趋于零或都趋于无穷大 那末极限 如果当 或 时 两个函数 → → → → F x f x F x x a x f x x x a 例如, , tan lim 0 x x x→ , lnsin lnsin lim 0 bx ax x→ ) 0 0 ( ( )
王 王定理设1)当x→时函数(x)及F(x都趋于零 (2)在a点的某领域内点a本身可以除外,r(x) 及F(x)都存在且F(x)≠0; 王(3)im f(x) 存在(或为无穷大); xaF(c) 那末im f()=lim f(x) 工工工 x→aF(x)x→nF(x) 正义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 当x→∞时,以及x→a,x→∞时,该法则仍然成立 上页 圆
. ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ); ( ) ( ) (3) lim ( ) ( ) 0; (2) ( ), ( ) (1) 0 , ( ) ( ) ; F x f x F x f x F x f x F x F x a a f x x f x F x x a x a x a = → → → → 那 末 存 在 或为无穷大 及 都存在且 在 点的某领域内点 本身可以除外 定理 设 当 时 函 数 及 都趋于零 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 当x → 时,以及x → a, x → 时,该法则仍然成立
证定义辅助函数 f1(x)= ∫f(x),x≠a F1(x)= F(x),x≠a 0,x=a 0. r= a 在U(a,)内任取一点x,在以a与x为端点的区间上, f1(x),F1(x)满足柯西中值定理的条件,则有 f(x)f(x)-f(a)f(s) F(x)F(x)-F(a)F(5(在x与a之间) 生当→a时→a=mr(=,:mr(2=A lim f(x)lim/(5=4 x-a F(x) 5aF'(5) 上页
证 定义辅助函数 , 0, ( ), ( ) 1 = = x a f x x a f x , 0, ( ), ( ) 1 = = x a F x x a F x ( , ) , 0 在U a 内任取一点 x 在以 a 与 x 为端点的区间上, ( ), ( ) , f 1 x F1 x 满足柯西中值定理的条件 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( ) F f = (在x与a之间) 当x → a时, → a, , ( ) ( ) lim A F x f x x a = → , ( ) ( ) lim A F f a = → . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim A F f F x f x x a a = = → →
tanx 0 例1求mm x→>0 0 解原式=lim (tan x) slim sec r x→0 x→0 例2求im x3-3x+2 0 3 x→1y-x 2 x+1 3x2-3 6x3 解原式=如3x2-2x-1x6x-22 上页
例 1 解 . tan lim0 x x x → 求 ( ) (tan ) lim0 = → x x x 原式 1 sec lim 2 0 x x → = = 1 . 例 2 解 . 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x 求 3 2 1 3 3 lim 2 2 1 − − − = → x x x x 原式 6 2 6 lim1 − = → x x x . 23 = ) 00 ( ) 00 (
arctan x 例3求lm -2 x→+ 0 x2 解原式=mim1+x2y1+2 x→+0 例4求lm In sin ax ● x→>0 In sin bx 解原式=lim cosa· sIn nx =lim cos bx 1 x-0 bcos bx. sin ax x-0 cos ax 上页
例 3 解 . 1 arctan 2 lim x x x − →+ 求 2 2 1 1 1 lim x x x − + − = →+ 原式 2 2 1 lim x x x + = →+ = 1 . 例 4 解 . lnsin lnsin lim0 bx ax x → 求 b bx ax a ax bx x cos sin cos sin lim0 = → 原式 = 1 . ) 00 (( ) ax bx x cos cos lim→0 =
例5求 lim tan I tant 9 2 解原式=lim secx1 cos<3x m n 3sec 3x 3x T cosx 1.-6cos 3xsin 3x sin 6x =-lim =lim 3、π-2 cos sinx n Sin 2x 2 2 cos 6x =lim 3 x-T2coS 2x 上页
例 5 解 . tan 3 tan lim2 xx x → 求 x x x 3sec 3 sec lim 22 2 → 原式 = xx x 22 2 cos cos 3 lim 31 → = x x x x x 2cos sin 6cos 3 sin 3 lim 31 2 −− = → xx x sin 2 sin 6 lim2 → = xx x 2cos 2 6cos 6 lim2 → = = 3 . ( )
注意:洛必达法则是求未定式的一种有效方法, 但与其它求极限方法结合使用,效果更好 例6求lm tanx=x x→>0y2tany 解原式=lm tanx-x lim secx-1 x→>0x 心 x→>03 2sec x tanx 1 tanx 1 =im =lim x→)0 6x 3 x→0 3 上页
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例6 解 . tan tan lim 2 0 x x x x x − → 求 3 0 tan lim x x x x − = → 原式 x x x x 6 2sec tan lim 2 →0 = 2 2 0 3 sec 1 lim x x x − = → x x x tan lim 3 1 →0 = . 3 1 =
生二0·∞∞-,0,型未定式解法 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型(0、(∞) 王1.0.∞型 步骤:0 ,或0·∞→0 1 0 牛例7求lmx2e.(0.∞) X→+0 x 解原式=lim lim e = x→+∞2xx→+a2x→+∞2 上页
二、0 , − ,0 0 ,1 , 0型未定式解法 例7 解 lim . 2 x x x e − →+ 求 ( 0 ) x e x x 2 lim →+ 原式 = 2 lim x x e →+ = 2 lim x x e →+ = = +. 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ), . 0 0 ( ( ) 1. 0 型 步骤: , 1 0 . 0 1 或 0 0
2 型 步廉:-=1=0- 000.0 例8求im( sInr x 解原式=lim X- sin x→>0x·Sinx cos =lim- 0 x→>0sinx+ cosr 上页
例8 解 ). 1 sin 1 lim( x 0 x x − → 求 ( − ) 0 1 0 1 − − . 0 0 0 0 − x x x x x sin sin lim 0 − = → 原式 x x x x x sin cos 1 cos lim 0 + − = → = 0. 2. − 型 步骤:
