§2生产计划的制订 动态优化建模首先要解决两个问题,其一是,要使什么性能指标达到最优,其二是,通 过什么变量(函数)控制这个性能指标。当然这些都应该是要解决实际问题的直接反映。 工厂与客户签订了一项在某时刻提交一定数量产品的合同,在制订生产计划时要考虑生 产和储存两种费用,生产费用通常取决于生产率(单位时间的产量),生产率越高费用越大; 储存费用自然由已经生产出来的产品数量决定,数量越多费用越大,所谓生产计划这里简单 地看作是到每一时刻为止的累积产量,它与每单位时间(如每天)的产量可以互相推算。建模 目的是寻求最优的生产计划,使完成合同所需的总费用(生产与贮存费用之和)最小。 假设开始生产时刻记为t=0,按照合同应在t=T提交数量为Q的产品。到时刻t为止的产 量记作x(t),x(t)即生产计划。因为时刻t的生产率表示为(t),所以单位时间的生产费用 可以一般地记作f(x(1),而单位时间的贮存费用则应记为g(x()。于是从t=0到t=T的总 费用C(x(t)是 C(x(D)=U(()+g(x()]dr (1) 为了确定f和g的具体形式作如下假设 1.单位时间内生产率提高一个单位所需的生产费用与这时的生产率成正比。在需求饱 满、生产率很高的工厂里这个假设是合理的。 2.贮存费与贮存量(即累积产量)成正比。这是关于贮存费的最常用的假设 假设1表明,生产费f对生产率ⅸ的变化率与成正比,即 df 于是 f(x(1)=k1￥2( k1是比例系数,由假设2则可以直接写出 g(x(t)=k2x(t) k2是单位数量产品单位时间的贮存费 建模将(2)、(3)代入(1)式并注意到x(t)在t=0和t=T时的值,我们有 C(x()=[1x2()+k2x( x(0)=0,x(T)=Q (5) 制订最优生产计划归结为在固定端点条件(5)下,求x(t)使(4)式定义的泛涵C(x(1) 取得最小值。 用变分法求解,记F(t,x,x)=kx2+k2x,根据欧拉方程(§1(7)式)
1 §2 生产计划的制订 动态优化建模首先要解决两个问题，其一是，要使什么性能指标达到最优，其二是，通 过什么变量（函数）控制这个性能指标。当然这些都应该是要解决实际问题的直接反映。 工厂与客户签订了一项在某时刻提交一定数量产品的合同，在制订生产计划时要考虑生 产和储存两种费用，生产费用通常取决于生产率（单位时间的产量），生产率越高费用越大; 储存费用自然由已经生产出来的产品数量决定，数量越多费用越大，所谓生产计划这里简单 地看作是到每一时刻为止的累积产量，它与每单位时间(如每天)的产量可以互相推算。建模 目的是寻求最优的生产计划，使完成合同所需的总费用（生产与贮存费用之和）最小。 假设 开始生产时刻记为t=0，按照合同应在t=T提交数量为Q的产品。到时刻t为止的产 量记作x(t)，x(t)即生产计划。因为时刻t的生产率表示为 x (t) ，所以单位时间的生产费用 可以一般地记作 f (x (t)) ，而单位时间的贮存费用则应记为 g(x(t)) 。于是从t=0到t=T的总 费用 C(x(t)) 是 = + t C x t f x t g x t dt 0 ( ( )) [ (( )) ( ( ))] (1) 为了确定f和g的具体形式作如下假设: l.单位时间内生产率提高一个单位所需的生产费用与这时的生产率成正比。在需求饱 满、生产率很高的工厂里这个假设是合理的。 2.贮存费与贮存量(即累积产量)成正比。这是关于贮存费的最常用的假设。 假设l表明，生产费f对生产率 x 的变化率与 x 成正比，即 x dx df 于是 ( ( )) ( ) 2 1 f x t = k x t （2） 1 k 是比例系数，由假设2则可以直接写出 ( ( )) ( ) 2 g x t = k x t （3） 2 k 是单位数量产品单位时间的贮存费。 建模 将（2）、(3)代入（1）式并注意到x(t)在t=0和t=T时的值，我们有 = + t C x t k x t k x t dt 0 2 2 1 ( ( )) [ ( ) ( )] （4） x(0) = 0 ， x(T) = Q （5） 制订最优生产计划归结为在固定端点条件（5）下，求x(t)使（4）式定义的泛涵 C(x(t)) 取得最小值。 用变分法求解，记 F t x x k x k x2 2 1 ( , , ) = + ，根据欧拉方程（§1（7）式）
F2(t2 F(,x,) 可得关于x(t)的二阶微分方程 k2-2kX()=0 (6) 方程(6)在端点条件(5)下的解为 k2,2,4kQ-k27 这就是使总费用C(x()达到最小的生产计划 由(7)式不难画出x(t)的示意图(图2),它是过x(0)=0,X(T)=Q两点的抛物线,且因 x()>0而呈下凸状。随着参数k1、k2、T、Q的不同,曲线x(t)可能有S1和S2两种形状。但是 对于生产计划x(t)应该有明显的限制条件 x()≥0,0≤t≤7 (8) 这就是说,只有当x(t)呈S形状时才有实际意义。 x(t) 图2-1x()的两种形式 图2-2满足条件的x(t) 容易看出,对于(7)式表示的x(t)条件(8)等价于 x(1)≥0 由(7)式算出x(0) 可知(9)式又表示为 k2 (10) 4k 于是仅当(10)式成立时(7)式确定的x(t)才是最优生产计划
2 ( , , ) − F (t, x, x) = 0 dt d F t x x x x 可得关于x(t)的二阶微分方程 k2 − 2k1 x (t) = 0 （6） 方程（6）在端点条件（5）下的解为 t k T k Q k T t k k x t 1 2 2 1 2 1 2 4 4 4 ( ) − = + （7） 这就是使总费用 C(x(t)) 达到最小的生产计划。 由(7)式不难画出x(t)的示意图(图2)，它是过x(0)=0,X(T)=Q两点的抛物线，且因 x (t) 0 而呈下凸状。随着参数k1、k2、T、Q的不同，曲线x(t)可能有S1和S2两种形状。但是 对于生产计划x(t)应该有明显的限制条件 x(t) 0， 0 t T （8） 这就是说，只有当x(t)呈S1形状时才有实际意义。 0 t1 T t 容易看出，对于(7)式表示的x(t)条件(8)等价于 x (t) 0 （9） 由(7)式算出 x (0) ，可知(9)式又表示为 1 2 2 4k k T Q （10） 于是仅当(10)式成立时(7)式确定的x(t)才是最优生产计划。 0 t x(t) T Q S1 S2 图 2-1 xt() 的两种形式 X(t) Q S3 图 2-2 满足条件的 x(t)
当k1,k2固定时条件(10)表明,在一定交货期T内要完成的产量Q相当大,需要从t=0就开始 生产,如图中曲线S1 但是,当 k,T2 (11) 4k 即在T内要完成的产量Q较小时最优生计划是什么呢? 直观的想法是为了节省贮存费用,到t=t才开始生产,如图7-2的曲线S3所示。S3是否就 是如(7)式所示、图7-1中曲线S2在x≥0的那一部分呢?如果不是,时刻t1和区县S3又如何确 定(习题1)。 解释为了对最优生产计划作出解释,考察它满足的方程(6)式,(6)式可以表示为 dd k2 (k1x2) (12) 式中是单位时间内生产率提高一个单位所需的生产费用,经济理论中称为边际成本 而k2(单位时间单位数量产品的贮存费)称为边际贮存。于是(12)式表明,使边际成本的变 化率等于边际贮存的生产计划是最优的。 评注优化模型通常包括目标幽数和约束条件(或寻优范围)两部分,在这个摸型目标幽数 只考虑了两种最基本的费用,并对它们作了相当简化的假设。至于约束条件,由于我们要用 古典变分法求解,所以x(t)除了要满足端点条件(5)以外,还需假定它是二阶可微函数。这 个条件并不影响(7)式的最优意义,因为一般说来不会存在一个不满足二阶可微条件的、比 (⑦)式更优的解。但是在另一些约束条件下问题就较难处理了,如这个模型应该要求x(t) ≥0,我们看到当参数满足条件(11)时最优解已经需要仔细考虑。若还要对生产率加以限制, 譬如规定一个范围即A≤≤B,则问题的求解更加困难。实际上,对控制函数施加的 这类闭集约束,可能导致古典变分法的失败
3 当k1，k2固定时条件(10)表明，在一定交货期T内要完成的产量Q相当大，需要从t=0就开始 生产，如图中曲线S1 但是，当 1 2 2 4k k T Q （11） 即在T内要完成的产量Q较小时最优生计划是什么呢? 直观的想法是为了节省贮存费用，到t=t1才开始生产，如图7-2的曲线S3所示。S3是否就 是如(7)式所示、图7-1中曲线S2在x≥0的那一部分呢？如果不是，时刻t1和区县S3又如何确 定(习题1)。 解释 为了对最优生产计划作出解释，考察它满足的方程(6)式，(6)式可以表示为 ( ( )) ( ) 2 2 1 dx df dt d k x dx d dt d k = = （12） 式中 是单位时间内生产率提高一个单位所需的生产费用，经济理论中称为边际成本。 而k2（单位时间单位数量产品的贮存费）称为边际贮存。于是(12)式表明，使边际成本的变 化率等于边际贮存的生产计划是最优的。 评注 优化模型通常包括目标幽数和约束条件（或寻优范围）两部分，在这个摸型目标幽数 只考虑了两种最基本的费用，并对它们作了相当简化的假设。至于约束条件，由于我们要用 古典变分法求解，所以 x(t)除了要满足端点条件(5)以外，还需假定它是二阶可微函数。这 个条件并不影响(7)式的最优意义，因为一般说来不会存在一个不满足二阶可微条件的、比 （7）式更优的解。但是在另一些约束条件下问题就较难处理了，如这个模型应该要求 x(t) ≥0,我们看到当参数满足条件（11）时最优解已经需要仔细考虑。若还要对生产率加以限制， 譬如规定一个范围即 A≤ ≤B，则问题的求解更加困难。实际上，对控制函数施加的 这类闭集约束，可能导致古典变分法的失败