第十一章无穷级数 无穷级数是数学分析的一个重要工具,本章首先讨论常数项级数,然后研究函数项级数, 最后研究把函数展开为幂级数和三角级数的问题,我们只介绍两种最常用的级数展开式一一 泰勒级数展开式和傅里叶级数展开式。 第一节常数项级数的概念和性质 教学目的:理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,掌握级数的基 本性质及收敛的必要条件 教学重点:级数收敛与发散概念 教学难点:用级数收敛性及基本性质判别一些级数的收敛性问题 教学内容: 级数的概念 设已给数列 {xn u,,2, ul ,表达式l1+l2+l3+…+ln+…或记为 un,称为无穷级数,简称级数,其中u,叫做级数的通项或一般项 各项都是常数的级数叫做数项级数,如 等 n=i n! n=n(n+D) 各项是函数的级数,称为函数项级数,如∑x,∑温”等 作常数项级数的前n项的和Sn=1+l2+l3+…+un,Sn称为级数的部分和。从而 的一个新的序列:S1 S2=l1 u, +l +ll Sn=a1+l2+l2+…+ln2 定义如果级数∑un的部分和数列{Sn}有极限S,即mSn=S,则称级数∑un收 敛,这时极限S叫做这级数的和,记为∑Un=S 如果Sn}没有极限,则称级数∑ln发散。 此时称=S-Sn为级数第n项以后的余项。 例1证明等比级数(几何级数)a+mg+aq2+…+叫qm1+…(a≠0)当<1时收
第十一章 无穷级数 无穷级数是数学分析的一个重要工具，本章首先讨论常数项级数，然后研究函数项级数， 最后研究把函数展开为幂级数和三角级数的问题，我们只介绍两种最常用的级数展开式—— 泰勒级数展开式和傅里叶级数展开式。 第一节 常数项级数的概念和性质 教学目的：理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基 本性质及收敛的必要条件 教学重点：级数收敛与发散概念 教学难点：用级数收敛性及基本性质判别一些级数的收敛性问题 教学内容： 一、级数的概念 设已给数列 un ：u1 ,u2 ,u3 , un , ，表达式 u1 + u2 + u3 ++ un + 或记为 n=1 n u ，称为无穷级数，简称级数，其中 n u 叫做级数的通项或一般项。 各项都是常数的级数叫做数项级数，如 =1 ! 1 n n ， =1 ( +1) 1 n n n 等。 各项是函数的级数，称为函数项级数，如 =1 2 n n n x ， =1 2 sin n n nx 等。 作常数项级数的前 n 项的和 Sn = u1 + u2 + u3 ++ un ， n S 称为级数的部分和。从而 的一个新的序列： S1 = u1 ， S2 = u1 + u2 ， S3 = u1 + u2 +u3 , ， Sn = u1 + u2 + u3 ++ un , 定义 如果级数 n=1 n u 的部分和数列 Sn 有极限 S ，即 Sn S n = → lim ，则称级数 n=1 n u 收 敛，这时极限 S 叫做这级数的和，记为 u S n n = =1 如果 Sn 没有极限，则称级数 n=1 n u 发散。 此时称 n S Sn r = − 为级数第 n 项以后的余项。 例 1 证明等比级数（几何级数） ( 0) 2 1 + + + + + − a aq aq aq a n 当 q 1 时收
敛,当≥1时发散 证明当q≠1时其前n项和Sn=a+++…+q-}=a.1-q” 若k1,则ml"=∞。n→∞时,Sn是无穷大量,级数发 散 若q=1,则级数成为a+a+a+…,于是Sn=ma,imSn=∞,级数发散 若q=-1,则级数成为a-a+a-a+…,当n为奇数时,Sn=a,而当n为偶数时, Sn=0。当n→>∞时,Sn无极限,所以级数也发散 例2证明级数 m=n(n+1) 证明 22·3 n(n+1) 0+1/=1-1 n+1 当n→∞时,Sn→>1。所以级数 二、收敛级数的基本性质 由级数收敛性定义,可得下面性质 性质1若级数∑u,收敛其和为S,又k为常数,则∑kun也收敛,且∑kun=k∑un (级数的每一项同乘一个不为零的常数后,它的收敛性不回改变。) 性质2若已知二收敛∑Un=s∑”n=a,则∑(un±vn)=S土 (两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减) 性质3改变级数的有限项的值不改变级数的敛散性 性质4收敛级数中的各项(按其原来的次序)任意合并(即加上括号)以后所成的新级 数仍然收敛,而且其和不变 推论一个级数如果添加括号后所成的新级数发散,那么原级数一定发散 注:例如∑(1-1)是收敛的,但级数1-1+1-1+1-1+…发散
敛，当 q 1 时发散。 证明 当 q 1 时其前 n 项和 q q S a aq aq aq a n n n − − = + + + + = − 1 2 1 1 若 q 1 ，则 lim = 0 → n n q ，于是 q a q q S a n n n n − = − − = → → 1 1 1 lim lim ，即当 q 1 时等比级数 收敛，且其和为 q a 1− 。当 q 1 ，则 = → n n lim q 。 n → 时， n S 是无穷大量，级数发 散。 若 q = 1 ，则级数成为 a + a + a + ，于是 = = → n n Sn na,lim S ，级数发散。 若 q = −1 ，则级数成为 a − a + a − a + ，当 n 为奇数时， Sn = a ，而当 n 为偶数时， Sn = 0 。当 n → 时， n S 无极限，所以级数也发散。 例 2 证明级数 = = 1 + 1 ( 1) 1 n n n 证明 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 ( 1) 1 2 3 1 1 2 1 + = − + + + − + − = − + + + + = n n n n n Sn ， 当 n → 时， Sn →1 。所以级数 = = 1 + 1 ( 1) 1 n n n 。 二、收敛级数的基本性质 由级数收敛性定义，可得下面性质： 性质 1 若级数 n=1 n u 收敛，其和为 S ，又 k 为常数，则 n=1 n ku 也收敛，且 = = = 1 n 1 n n kun k u （级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不回改变。） 性质 2 若已知二收敛 = = = =1 1 , n n n n u s v ，则 = = u v s n n n 1 ( ) （两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减） 性质 3 改变级数的有限项的值不改变级数的敛散性 性质 4 收敛级数中的各项（按其原来的次序）任意合并（即加上括号）以后所成的新级 数仍然收敛，而且其和不变。 推论 一个级数如果添加括号后所成的新级数发散，那么原级数一定发散。 注：例如 = − 1 (1 1) n 是收敛的，但级数 1−1+1−1+1−1+ 发散
级数收敛的必要条件 定理若级数∑n,收敛,则mnan=0 证明设∑un=S,即lmSn=S,则mSn1=S,所以 Im um=lims-S-i=lm S,-lim SI=S-S=0 n→① 推论若级数un的通项ln,当n→∞时不趋于零,则此级数必发散 注意:级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件,比如调和级数 它的一般项ln=-→O(n→∞),但是它是发散的 小结: 本节主要是依据级数的定义及其性质判别级数的敛散性。如 In- S 4-√3)+…+Vn+1 =√h+1-2→∞(n→∞) ∴级数发散 级数为∑ 2n3 S1+∑,分别为等比级数且q=23 ,原级数收敛 (3)+÷+3+ ~0(m→∞)∴原级数发散 作业: 作业卡p44-45
三、级数收敛的必要条件 定理 若级数 n=1 n u 收敛，则 lim = 0 → n n u 证明 设 u S n n = =1 ，即 Sn S n = → lim ，则 Sn S n − = → 1 lim ，所以 lim = lim ( − 1 ) = lim − lim −1 = − = 0 → → − → → u S S S Sn S S n n n n n n n n 推论 若级数 n=1 n u 的通项 n u ，当 n → 时不趋于零，则此级数必发散。 注意：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件，比如调和级数 , 1 3 1 2 1 1+ + ++ + n 它的一般项 0( ) 1 = → n → n un ，但是它是发散的。 小结： 本节主要是依据级数的定义及其性质判别级数的敛散性。如 (1) ( ) = + − 1 1 n n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + − → ( → ) = + − = − + − + − + + + − = n n S k k n n n k n 1 2 1 2 1 3 2 4 3 1 1 ∴级数发散 (2) + + + + + + + + + n n 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 2 3 3 级数为 = = = = + + 1 1 1 3 1 2 1 3 1 2 1 n n n n n n n ，分别为等比级数且 3 1 , 2 1 q = ∴原级数收敛 (3) + + ++ n + 3 1 3 1 3 1 3 1 3 n un 3 1 = → 0 (n → ) ∴原级数发散 作业： 作业卡 p44-45
第二节常数项级数的审敛法 教学目的:掌握数项级数收敛性的判别方法 教学重点:正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法,交错级数的莱布尼兹判 别法,绝对收敛与条件收敛的概念。 教学难点:任意项级数收敛性的判别方法 教学内容 正项级数及其审敛法 每项均为非负的级数称为正项级数 设级数a1+l2+l3+…+n+…是一个正项级数(un≥0),它的部分和数列Sn}显然 是一个单调增加数列:S1≤S2≤S3≤…≤Sn≤…,从而有 定理1正项级数∑n收敛→它的部分和数列Sn}有界。 推论:如果正项级数∑n发散,则它的部分和数列Sn→+(n→∞) 定理2(比较审敛法)已知二正项级数u1+l2+n3+…+ln+…(4) v1+v,+V2+…+v (1)若级数(A)收敛且对大于某个正整数的一切n,都有vn≤un则级数(B)也收敛: (2)若级数(4)发散且对大于某个正整数的一切n,都有vn≥un,则级数(B)也发散。 证明设A,和Bn分别表示级数(4)和(B)的前m项和 ()已知imAn=A存在,又因{An}个,故An≤A。根据级数基本性质3,不妨认为 在n≥1时vn≤un,因而∑v≤∑,即Bn≤A,故Bn≤An≤A,即{}有上界, 所以mB存在,即∑vn收敛 (2)用反证法,若∑vn收敛,则因已设ln≤vn,由(1)推知∑un收敛,与题设矛盾
第二节 常数项级数的审敛法 教学目的：掌握数项级数收敛性的判别方法 教学重点：正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，交错级数的莱布尼兹判 别法，绝对收敛与条件收敛的概念。 教学难点：任意项级数收敛性的判别方法 教学内容： 一、 正项级数及其审敛法 每项均为非负的级数称为正项级数 设级数 u1 + u2 + u3 ++ un + 是一个正项级数 ( 0) un ，它的部分和数列 Sn 显然 是一个单调增加数列： S1 S2 S3 Sn ，从而有 定理 1 正项级数 n=1 n u 收敛 它的部分和数列 Sn 有界。 推论：如果正项级数 n=1 n u 发散，则它的部分和数列 Sn → + (n → ) 定理 2（比较审敛法）已知二正项级数 u1 + u2 + u3 ++ un + (A) v v v v (B) 1 + 2 + 3 ++ n + ⑴ 若级数 (A) 收敛且对大于某个正整数的一切 n ，都有 n un v 则级数 (B) 也收敛； ⑵ 若级数 (A) 发散且对大于某个正整数的一切 n ，都有 n un v ，则级数 (B) 也发散。 证明 设 An 和 Bn 分别表示级数 (A) 和 (B) 的前 n 项和 ⑴ 已知 An A n = → lim 存在，又因 An ，故 An A 。根据级数基本性质 3，不妨认为 在 n 1 时 n un v ，因而 = = n k k n k vk u 1 1 ，即 Bn An ，故 Bn An A ，即 Bn 有上界， 所以 n n B → lim 存在，即 n=1 n v 收敛 ⑵ 用反证法，若 n=1 n v 收敛，则因已设 n n u v ，由⑴推知 n=1 n u 收敛，与题设矛盾
故∑v发散 推论设∑n和∑都是正项级数,如果级数∑收敛,且存在自然数N使得心N 时有n≤kn(k>0)成立,则级数∑un收敛:如果级数∑”发散,且当mN时有 n≥k(k>0)成立,则∑vn发散。 例1证明调和级数1+ +-+…是发散的 图11-2-1 证明由微分学可证得一个不等式x>h(1+x),当x>0时,(如图示) 由Sn=1+1+1+…+>h(+1)+hl1+5|+h|1+1+…+h|1+1 =h2+h+h+…+h々小zh/2.34n+ 3 4 ln(1+n)→>+∞(n +∞,所以调和级数发散 例2讨论p-级数1+++…+--+…的收敛性,其中常数p>0 解设p≤1,则≥1,但调和级数发散,由定理2可知,当P1时级数∑发 散
故 n=1 n v 发散。 推论 设 n=1 n u 和 n=1 n v 都是正项级数，如果级数 n=1 n v 收敛，且存在自然数 N，使得 nN 时有 u kv (k 0) n n 成立，则级数 n=1 n u 收敛；如果级数 n=1 n v 发散，且当 nN 时有 u kv (k 0) n n 成立，则 n=1 n u 发散。 例 1 证明调和级数 + + ++ + n 1 3 1 2 1 1 是发散的 图 11-2-1 证明 由微分学可证得一个不等式 x ln(1+ x) ，当 x 0 时，（如图示） 由 ( ) + + + + + = + + + + + + + n n Sn 1 ln 1 3 1 ln 1 2 1 ln 1 1 ln 1 1 3 1 2 1 1 ln(1 ) ( ) 1 3 4 2 3 ln 2 1 ln 3 4 ln 2 3 ln 2 ln = + → + → + = + = + + + + n n n n n n 即 = = + 1 1 n n ，所以调和级数发散。 例 2 讨论 p − 级数 + p + p ++ p + n 1 3 1 2 1 1 的收敛性，其中常数 p 0 解 设 p 1 ，则 n n p 1 1 ，但调和级数发散，由定理 2 可知，当 p 1 时级数 =1 1 n p n 发 散 y = ln(1+ x) y O x y = x
设p>1,当n-1≤x≤n时,有一≤ 所以 d x d x P-1L(n-1) (n=23…) 考虑级数∑ ZL(n-1)p-lnP- ()其部分和 P-12p-1 P-(n+1)p (n+1) 故级数(*)收敛,由定理2知,级数∑一当p>1时收敛,综上,得 当P-级数,当p>1时收敛,当p≤1时发散 定理3(比较法的极限形式)设∑un和∑"都是正项级数,如果 (1)lm=1(0≤10或m=+∞,且级数∑v发散,则级数∑n发散 证明(1)由极限定义可知,对于E=1,丑N,使当n>N时,有<l+1,,即 n<(+1)n,再由比较审敛法可得级数∑n收敛 (2)按已知条件可知极限m一存在,如果级数∑un收敛,则由结论(1)必有级数 ∑"n收敛,但已知级数∑v发散,因此级数∑un不可能收敛,即级数∑n发散 例3判别级数∑sn的收敛性 解∵lmn-.n=1
设 p 1 ，当 n −1 x n 时，有 p p n x 1 1 ， 所以 − − − − − − − = = n n n n p p p p p p n n dx x dx n n 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 (n = 2,3, ) 考虑级数 (*) 1 ( 1) 1 2 1 1 = − − − n − p p n n 其部分和 1( ) ( 1) 1 1 ( 1) 1 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 → → + = − + + + − + − = − − − − − − − n n n n Sn p p p p p p 故级数（*）收敛，由定理 2 知，级数 =1 1 n p n 当 p 1 时收敛，综上，得 当 p − 级数，当 p 1 时收敛，当 p 1 时发散 定理 3（比较法的极限形式）设 n=1 n u 和 n=1 n v 都是正项级数，如果 （1） lim = ,(0 +) → l l v u n n n ，且级数 n=1 n v 收敛，则级数 n=1 n u 收敛。 （2） = 或 = +， → → n n n n n n v u l v u lim 0 lim 且级数 n=1 n v 发散，则级数 n=1 n u 发散。 证明（1） 由极限定义可知，对于 =1， N ，使当 n N 时，有 l +1, v u n n ，即 n n u (l +1)v ，再由比较审敛法可得级数 n=1 n u 收敛。 （2）按已知条件可知极限 n n n u v → lim 存在，如果级数 n=1 n u 收敛，则由结论(1)必有级数 n=1 n v 收敛，但已知级数 n=1 n v 发散，因此级数 n=1 n u 不可能收敛，即级数 n=1 n u 发散。 例 3 判别级数 =1 1 sin n n 的收敛性 解 ∵ 1 1 1 sin lim = → n n n
由定理3知此级数发散。 定理4(比值审敛法)若正项级数∑un的后项与前项之比值的极限等于p: im=叫=p,则当p1(或皿m==∞)时级数发散:p=1时 级数可能收敛也可能发散 证明(1)当p1,取一个适当正数E,使p-E>1,依极限定义,当n≥m时,有 以>P-E>,即un1>ln,从而 lm u≠0,可知∑un发散,类似可证,当 lim 发散 (3)当p=1时,由P-级数可知结论正确 例4判别级数F2”n 的收敛性 2”+·(n+1)!n nk n 1+ n+1
∴由定理 3 知此级数发散。 定理 4（比值审敛法）若正项级数 n=1 n u 的后项与前项之比值的极限等于 ： = + → n n n u u 1 lim ，则当 1 时，级数收敛； 1 （或 = + → n n n u u 1 lim ）时级数发散； = 1 时 级数可能收敛也可能发散。 证明 ⑴ 当 1 ，取一个适当正数 ，使 + = 1 ，依极限定义， 自然数 m ， 使 n m ，有 + = + n n u u 1 ，因此， um+1 um ,um+2 um+1 2 um, um+3 um+2 3 um, 这样，级数 um+1 + um+2 + um+3 + 各项小于收敛的等比级数 um + 2 um + 3 um + ( 1) 的各对应项，所以它也收敛。由于 n=1 n u 只比它多了前 m 项，因此 n=1 n u 也收敛。 ⑵ 当 1 ，取一个适当正数 ，使 − 1 ，依极限定义，当 n m 时，有 1, 1 − + n n u u 即 un+1 un ，从而 lim 0 → n n u ，可知 n=1 n u 发 散 ， 类似 可 证， 当 = + → n n n u u 1 lim ， n=1 n u 发散。 ⑶ 当 = 1 时，由 p − 级数可知结论正确。 例 4 判别级数 = 1 2 ! n n n n n 的收敛性 解 ∵ n n n n n n n n n n n n n n n u u + = + = + + = + + + 1 1 1 2 1 2 ( 1) 2 ! 2 ( 1)! 1 1 1 ∴ 1 2 1 1 2 lim lim 1 = + = → + → e n u u n n n n n
故级数收敛 定理5(根值审敛法)设∑un为正项级数,如果它的一般项un的n次根的极限等于p imun=p,则当p1(或lmn=+90)时级数发散,p=1 时级数可能收敛也可能发散 证明与定理4相仿,这里从略。 例5判别级数∑(2n+1)的收敛性 解mun=+2+0(或mmn=+∞),则级数∑ln发散: (2)如果p>1,而mnn"un=1(0≤10(l,<0也一样) n=1,2,3…,则a1-2+l3-l4+…+(-1)”un+…就是一个交错级数
故级数收敛。 定理 5（根值审敛法）设 n=1 n u 为正项级数，如果它的一般项 n u 的 n 次根的极限等于 ： = → n n n lim u ，则当 1 时，级数收敛， 1 （或 = + → n n n lim u ）时级数发散， = 1 时级数可能收敛也可能发散。 证明与定理 4 相仿，这里从略。 例 5 判别级数 = n 1 2 +1 n n n 的收敛性 解 1, 2 1 2 1 lim lim = + = → → n n u n n n n 所以级数收敛。 定理 6（极限审敛法）设 n=1 n u 为正项级数， （1）如果 lim = 0 → nu l n n （或 = + → n n lim nu ），则级数 n=1 n u 发散； （2）如果 p>1,而 lim = (0 +), → n u l l n p n 则级数 n=1 n u 收敛。 证明（1）在极限形式的比较审敛法中，取 n vn 1 = ，由调和级数 =1 1 n n 发散，知结论成 立； （2）在极限形式的比较审敛法中，取 n p n v 1 = ，当 p>1 时，p-级数 =1 1 n p n 收敛，故结 论成立。 例 6 判定级数 = + − 1 1(1 cos ) n n n 的收敛性. 解 因为 lim lim 1(1 cos ) 2 3 2 3 n n u n n n n n = + − → → 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 1 lim = + = → n n n n n 根据极限审敛法，知所给级数收敛。 二、 交错级数及其审敛法 一个级数的各项如果事正负相间的就叫做交错级数。若 un 0 （ un 0 也一样） n = 1,2,3 ，则 u1 − u2 + u3 − u4 ++ (−1) n−1 un + 就是一个交错级数
定理7(莱布尼兹准则)若(1)un>0(u)un≥unt1(m) lim u=0, 则级数∑(-1)”n收敛,且0≤∑(-1)”n≤ 证明先证前2n项的和S的极限存在, S2=(u1-l2)+(u2-l4)+…+(u2n1-2n)→{S2n}↑(括号非负) l imS2n+=lim(S2n+u2a+1)=S(条件(mn) 几→∞ Sn=S≤u1 例7证明交错级数1-7…+(-1n收敛 证明un n+14n(n=1,2,…)及lmln=m==0 n→n 由莱氏判别法,知∑(-1)1-收敛,且其和S<1,如果取前n项的和 23.+(,作为S的近似值,产生的误差|≤,(=un) S.=1--+ 三、绝对收敛与条件收敛 每一个任意项级数的各项都换为它的绝对值,那就对应地有一个正项级数,该正项级数 与任意项级数的收敛性有下面定理所述的关系。 定理8若∑收敛,则∑n也收敛 证明令,=1(n+n),则n,≥0,即∑,是正项级数, n而∑收敛,从而∑2n收敛,又2vn-n=un,由基本性质,知 收敛 必须指出,此定理的逆定理不成立。 定义若∑m收敛,则称∑n是绝对收敛的:如果∑un收敛而∑n|发散,则称
定理 7 （莱布尼兹准则）若 (i)un 0 1 ( )un un+ ii ( )lim = 0 → n n iii u ， 则级数 = − − 1 1 ( 1) n n n u 收敛，且 1 1 1 0 ( 1) u u n n n − = − 证明 先证前 2n 项的和 S2n 的极限存在， S2n = (u1 − u2 ) + (u3 − u4 ) + ...+ (u2n−1 − u2n ) →{S2n } （括号非负） 又 2 1 2 3 4 5 2 2 2 1 2 2 1 S n = u − (u − u ) − (u − u ) −− (u n− − u n− ) − u n → S n u 2 1 lim S n S u n = → (条件 (i) ，(ii) ) S S n u n S n n n = + + = → + → lim lim ( ) 2 1 2 2 1 （条件 (iii) ） 故 1 lim Sn S u n = → 例 7 证明交错级数 − + − ++ − − + n n 1 ( 1) 4 1 3 1 2 1 1 1 收敛 证明 0 1 = n un ( 1,2, ) 1 1 1 = 1 = + = u + n n n un n 及 0 1 lim = lim = → → n u n n n 由莱氏判别法，知 = − − 1 1 1 ( 1) n n n 收敛，且其和 S 1 ，如果取前 n 项的和， n S n n 1 ... ( 1) 3 1 2 1 1 −1 = − + + + − ，作为 S 的近似值，产生的误差 ( ) 1 1 = +1 + n un n 三、绝对收敛与条件收敛 每一个任意项级数的各项都换为它的绝对值，那就对应地有一个正项级数，该正项级数 与任意项级数的收敛性有下面定理所述的关系。 定理 8 若 n=1 un 收敛，则 n=1 n u 也收敛 证明 令 ( ) 2 1 n un un v = + ，则 vn 0 ，即 n=1 n v 是正项级数， n un v 而 n=1 un 收敛，从而 =1 2 n n v 收敛，又 n un un 2v − = ，由基本性质，知 n=1 n u 收敛。 必须指出，此定理的逆定理不成立。 定义 若 n=1 un 收敛，则称 n=1 n u 是绝对收敛的；如果 n=1 n u 收敛而 n=1 un 发散，则称
un是条件收敛的。 如级数∑(-1)”是条件收敛的 例8判定级数 +…+(-1) 绝对收敛还是条件收敛 2222323 2 还是发散? 解∵lm = lim n+1 2+l ∴原给的级数是绝对收敛的 小结 1.级数收敛的必要条件是其通项趋于0,因此,如果通项不趋于0,级数 定发散。但是,通项趋于0的级数未必收敛,如∑的通项趋于0,但调和级 数发散。 2.正项级数的部分和Sn单调增,所以如果证明了Sn有上界,则正项级数收 3.三个重要的级数 (1)p-级数: 如nP≤1(发散)p>1(收敛 (2)几何级数:∑n≥1(发散)d<1(收敛) (3)∑(-1 收敛 4.正项级数的审敛法是: 比较法,比较法的极限形式,比值法,根值法 5.交错级数有莱氏判别法;任意项级数有绝对值判别法 作业: 作业卡p46-47页
n=1 n u 是条件收敛的。 如级数 = − − 1 1 1 ( 1) n n n 是条件收敛的。 例 8 判定级数 − + ++ − n+ n + n 2 1 1 ( 1) 2 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 2 3 是绝对收敛还是条件收敛 还是发散？ 解 ∵ 1 2 1 2 1 1 lim 2 1 1 2 1 1 1 lim lim 1 1 = + = + = → + → + → n n n n u u n n n n n n n ∴原给的级数是绝对收敛的。 小结: 1. 级数收敛的必要条件是其通项趋于 0，因此，如果通项不趋于 0，级数 一定发散。但是，通项趋于 0 的级数未必收敛，如 =1 1 n n 的通项趋于 0，但调和级 数发散。 2．正项级数的部分和 n S 单调增，所以如果证明了 n S 有上界，则正项级数收 敛。 3．三个重要的级数： (1) p − 级数： =1 1 n p n p 1 （发散） p 1 （收敛） (2) 几何级数： = − 1 1 n n aq q 1 （发散） q 1 （收敛） (3) = − − 1 1 1 ( 1) n n n 收敛 4．正项级数的审敛法是： 比较法，比较法的极限形式，比值法，根值法 5．交错级数有莱氏判别法；任意项级数有绝对值判别法 作业： 作业卡 p46-47 页