《高等数学》课程教学资源：第九章 重积分

第九章重积分 第一节二重积分的概念与性质 教学目的:深刻理解二重积分的概念、性质、方法和 基本技巧 教学重点:利用二重积分的性质计算 教学难点:二重积分的几何意义 教学内容: 、二重积分的概念 1.曲顶柱体的体积 设有一空间立体Ω2,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为 准线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面二=f(xy)。 当(x,y)∈D时,∫(x,y)在D上连续且f(x,y)≥0,以后称这种立体为曲顶柱体。 曲顶柱体的体积V可以这样来计算 (1)用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域Aa1,△a2,…,Δn,以这些小区域的 边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n个小曲 顶柱体△1,△922, (假设Δσ所对应的小曲顶柱体为△,这里Δσ既代表第i个小区域,又表示它的面积值, ΔΩ,既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。) =f(52,n) 图9-1-1

第九章 重积分 第一节 二重积分的概念与性质 教学目的：深刻理解二重积分的概念、性质、方法和 基本技巧 教学重点：利用二重积分的性质计算 教学难点：二重积分的几何意义 教学内容： 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 设有一空间立体  ,它的底是 xoy 面上的有界区域 D ,它的侧面是以 D 的边界曲线为 准线,而母线平行于 z 轴的柱面,它的顶是曲面 z f x y = ( . ) 。 当 ( , ) x y D  时, f x y ( , ) 在 D 上连续且 f x y ( , ) 0  ,以后称这种立体为曲顶柱体。 曲顶柱体的体积 V 可以这样来计算: (1) 用任意一组曲线网将区域 D 分成 n 个小区域 1， 2， ， n ，以这些小区域的 边界曲线为准线,作母线平行于 z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体  分划成 n 个小曲 顶柱体 1， 2， ，  n 。 （假设  i 所对应的小曲顶柱体为 i ,这里  i 既代表第 i 个小区域,又表示它的面积值, i 既代表第 i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值。) 图 9-1-1

从而=∑AQ (将Ω化整为零) (2)由于∫(x,y)连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱 体近似地看作小平顶柱体,于是 A1≈f(57Aσ1(W(5)∈A1) (以不变之高代替变高,求Δg1的近似值) (3)整个曲顶柱体的体积近似值为 ≈∑f(5m1)Ao r=1 (4)为得到V的精确值,只需让这n个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此 我们引入区域直径的概念 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零 设n个小区域直径中的最大者为A,则 1=lm∑f(5,n△ 2.平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xoy面上的区域D,它在(xy)处的面密度为p(xy),这里 p(x,y)20,而且p(x,y)在D上连续现计算该平面薄片的质量M 图9-1-2 将D分成n个小区域△a1,△σ2,…,ΔGn,用A记△G的直径,△a既代表第i 个小区域又代表它的面积。 当=max{4}很小时,由于P(xy)连续,每小片区域的质量可近似地看作是均匀 lsi≤n

从而 1 n i i V = =   (将  化整为零) (2) 由于 f x y ( , ) 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱 体近似地看作小平顶柱体,于是    i i i i i i i  f (  )  ( (  )   ) (以不变之高代替变高, 求 i 的近似值) (3) 整个曲顶柱体的体积近似值为 V f i i i i n  =  (  ) 1 (4) 为得到 V 的精确值,只需让这 n 个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此, 我们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 设 n 个小区域直径中的最大者为  , 则 V f n i i i i = → = lim  ( , )     0 1  2.平面薄片的质量 设有一平面薄片占有 xoy 面上的区域 D , 它在 ( x y, ) 处的面密度为  ( x y, ) ,这里  ( x y, 0 )  ,而且  ( x y, ) 在 D 上连续,现计算该平面薄片的质量 M 。 图 9-1-2 将 D 分成 n 个小区域 1，  2， ，  n ，用 i 记  i 的直径,  i 既代表第 i 个小区域又代表它的面积。 当   1 max i i n     = 很小时, 由于  ( x y, ) 连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀

的,那么第i小块区域的近似质量可取为 p(5,1V(5,n)∈△σ1 于是 M≈∑p(51,m)△σ M=lim∑(5,n,)AG 两种实际意义完全不同的问题,最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这 类极限问题的实际背景,给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分 3.二重积分的定义 设∫(x,y)是闭区域D上的有界函数,将区域D分成个小区域 Aa,Aσ2…n, 其中,Δσ,既表示第i个小区域,也表示它的面积,A.表示它的直径 A=max{41}v(51,n)∈A 作乘积f(51,n)△G1(=1,2…,n) 作和式∑f(5,)△a 若极限m∑f(5,n)△,存在,则称此极限值为函数f(xy)在区域D上的三重积分 记作』f(xy)do 即/(xy)do=im∑f(5,n)△ 其中:f(xy)称之为被积函数,f(x,y)d称之为被积表达式,do称之为面积元素, xy称之为积分变量,D称之为积分区域,∑∫(5,n)△称之为积分和式 4.几个事实 (1)二重积分的存在定理 若∫(xy)在闭区域D上连续,则∫(xy)在D上的二重积分存在

的, 那么第 i 小块区域的近似质量可取为 ( , )  ( , )  i i i i i i    于是 =   n i M i i i 1 ( , )  M i i i i n = → = lim  ( , )      0 1  两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这 类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。 3. 二重积分的定义 设 f x y ( , ) 是闭区域 D 上的有界函数, 将区域 D 分成个小区域 1 , 2 ,  , n , 其中,  i 既表示第 i 个小区域, 也表示它的面积, i 表示它的直径。  =    max{ } 1 i n i ( , )  i i i  作乘积 ( , ) ( 1,2 , ) i i i f i n    = 作和式 1 ( , ) n i i i i f    =   若极限 ( ) 0 1 lim , n i i i i f     → =   存在,则称此极限值为函数 f x y ( , ) 在区域 D 上的二重积分, 记作 ( , ) D f x y d  。 即 ( , ) D f x y d =  ( ) 0 1 lim , n i i i i f     → =   其中: f x y ( , ) 称之为被积函数, f x y d ( , )  称之为被积表达式, d 称之为面积元素, x y, 称之为积分变量, D 称之为积分区域, ( ) 1 , n i i i i f    =   称之为积分和式。 4. 几个事实 (1) 二重积分的存在定理 若 f x y ( , ) 在闭区域 D 上连续, 则 f x y ( , ) 在 D 上的二重积分存在

声明:在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在 2J(x,y)da中的面积元素d象征着积分和式中的△a d 图9-1-3 由于二重积分的定义中对区域D的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划 分区域D,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可 以将dσ记作dd(并称ad为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为 J5(x,y)do (3)若∫(x,y)20,二重积分表示以f(x,y)为曲顶,以D为底的曲顶柱体的体积 二、二重积分的性质 二重积分与定积分有相类似的性质 1.线性性 flaf(x,y)+Bg(x, y)ldo=a.Sf(x, y)do+B.g(x, y)]do 其中:a,B是常数 对区域的可加性 若区域D分为两个部分区域D1,D2,则 ff(x,ydo=f(x, y)do +[f(x,y)do 3.若在D上,f(xy)=1,为区域D的面积则 a=∫ldo=do 几何意义:高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积 4.若在D上,f(x,y)≤q(x,y),则有不等式

声明: 在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。 (2) ( , ) D f x y d  中的面积元素 d 象征着积分和式中的  i 。 图 9-1-3 由于二重积分的定义中对区域 D 的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划 分区域 D ,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可 以将 d 记作 dxdy (并称 dxdy 为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为 ( , ) D f x y d  。 (3) 若 f x y ( , 0 )  ,二重积分表示以 f x y ( , ) 为曲顶,以 D 为底的曲顶柱体的体积。 二、二重积分的性质 二重积分与定积分有相类似的性质 1. 线性性 [  f (x, y) +   g(x, y)]d =   f (x, y)d +   g(x, y)]d D D D 其中:  , 是常数。 2. 对区域的可加性 若区域 D 分为两个部分区域 1 2 D D, ,则 f x y d f x y d f x y d D D D  ( , )  = ( , )  +  ( , )  1 2 3. 若在 D 上, f x y ( , 1 )  ,  为区域 D 的面积,则  = 1d =  d D D 几何意义: 高为 1 的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。 4. 若在 D 上, f x y x y ( , , )  ( ) ,则有不等式

∫f( x, y)do s』gp(x,y)do 特别地由于-f(xy)≤f(xy)s|(x,y),有 JSf(x, y)do=[SIf(x,D)do 5.估值不等式 设M与m分别是f(x,y)在闭区域D上最大值和最小值,是M的面积则 ≤』f(x,y)do≤M 6.二重积分的中值定理 设函数f(xy)在闭区域D上连续,a是D的面积则在D上至少存在一点(5,m),使 得 ∫(x,y)do=f(5,n) 例1估计二重积分(x2+4y2+9)do的值,D是圆域x2+y2≤4 解求被积函数f(x,y)=x2+4y2+9在区域D上可能的最值 2x=0 8y=0 (0.0)是驻点,且f(00)=9 在边界上,f(x,y)=x+4(4-x)+9=25-3x(-2≤xs2) 13≤f(x,y)≤25 于是有 36丌=9.4丌<I≤25.4=100丌 小结 二重积分的定义(和式的极限) 重积分的几何意义(曲顶柱体的体积) 重积分的性质

   D D f (x, y)d (x, y)d 特别地,由于 −   f x y f x y f x y ( ,,, ) ( ) ( ) ，有 f x y d f x y d D D    ( , ) ( , ) 5. 估值不等式 设 M 与 m 分别是 f x y ( , ) 在闭区域 D 上最大值和最小值, 是 M 的面积,则      D m  f (x, y)d M  6. 二重积分的中值定理 设函数 f x y ( , ) 在闭区域 D 上连续,  是 D 的面积,则在 D 上至少存在一点 ( , ) ,使 得  =  D f (x, y) d f ( , )  例 1 估计二重积分 ( ) 2 2 4 9 D x y d + +   的值, D 是圆域 x y 2 2 +  4。 解 求被积函数 ( ) 2 2 f x y x y , 4 9 = + + 在区域 D 上可能的最值        = = = = 8 0 2 0 y y f x x f     (0,0) 是驻点,且 f (0,0 9 ) = ； 在边界上, ( , ) 4(4 ) 9 25 3 ( 2 2) 2 2 2 f x y = x + − x + = − x −  x  13  f (x, y)  25 25 max f = , 9 min f = , 于是有 36 =94 I 254 =100 小结： 二重积分的定义（和式的极限） 二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） 二重积分的性质

作业 作业卡p22

作业： 作业卡 p22

第二节二重积分的计算法 教学目的:深刻理解二重积分的计算方法和基本技巧 教学重点:熟练掌握二重积分计算 教学难点:二重积分在极坐标下的计算 教学内容 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定 积分的计算(即二次积分)来实现的。 利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分∫(x,y)do的计算问题。 讨论中,我们假定f(x,y)≥0 假定积分区域D可用不等式a≤x≤b0(x)≤y≤92(x)表示 其中a(x),2(x)在[a]上连续 =2(x) y=φ1( 图9-2-1 图9-2-2 据二重积分的几何意义可知,』f(xy)d的值等于以D为底,以曲面z=f(x,y) 为顶的曲顶柱体的体积。 z=f(x,y) 2(x) 图9-2-3 在区间[a上任意取定一个点x,作平行于y0面的平面x=x,这平面截曲项柱体

第二节 二重积分的计算法 教学目的：深刻理解二重积分的计算方法和基本技巧 教学重点：熟练掌握二重积分计算 教学难点：二重积分在极坐标下的计算 教学内容： 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定 积分的计算(即二次积分)来实现的。 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分 ( , ) D f x y d  的计算问题。 讨论中,我们假定 f x y ( , 0 )  ； 假定积分区域 D 可用不等式 a  x  b  x  y  x 1 2 ( ) ( ) 表示, 其中   1 2 ( x x ), ( ) 在 ab,  上连续。 图 9-2-1 图 9-2-2 据二重积分的几何意义可知, ( , ) D f x y d  的值等于以 D 为底,以曲面 z f x y = ( , ) 为顶的曲顶柱体的体积。 图 9-2-3 在区间 ab,  上任意取定一个点 0 x ,作平行于 yoz 面的平面 0 x x = ,这平面截曲顶柱体

所得截面是一个以区间[q(x),2(x)为底曲线=f(xy)为曲边的曲边梯形,其面 积为 码()f(x0,y)dy 般地,过区间[a上任一点x且平行于yoz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 A(x)=f(x,y)dy 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 r=∫4(xx=∫了f(x,y)dh 从而有 ∫ f(x, y)do= f(x, y)dy 1(x) 上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把x看作常数,f(x,y)只看作y的函 数,对∫(x,y)计算从9(x)到92(x)的定积分,然后把所得的结果(它是x的函数)再对 x从a到b计算定积分 这个先对y,后对x的二次积分也常记作 b￠2(x) ∫Jf(x,y)d=∫ax∫f(x,y) 1(x) 在上述讨论中,假定了f(x,y)20,利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算 公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的∫(x,y)(在D上连续),公式(1) 总是成立的。 I=(1-x2)daD={(x,y)|-1≤x≤1,0≤y≤2} 例1计算 (-x)=-x)小

所得截面是一个以区间     1 0 2 0 ( x x ), ( )   为底,曲线 z f x y = ( 0 , ) 为曲边的曲边梯形,其面 积为 ( ) ( ) ( ) 2 0 ( ) 1 0 0 0 , x x A x f x y dy   =  一般地,过区间 ab,  上任一点 x 且平行于 yoz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 , x x A x f x y dy   =  利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 V A x a dx f x y dy dx b x x a b = =            ( ) ( , ) ( ) ( )   1 2 从而有 f x y d f x y dy dx b a x x D              = ( ) 2 ( ) 1 ( , ) ( , )    (1) 上述积分叫做先对 Y ,后对 X 的二次积分,即先把 x 看作常数, f ( x, y) 只看作 y 的函 数,对 f ( x, y) 计算从 ( ) 1  x 到 ( ) 2  x 的定积分,然后把所得的结果( 它是 x 的函数 )再对 x 从 a 到 b 计算定积分。 这个先对 y , 后对 x 的二次积分也常记作 f x y d dx f x y dy D a b x x ( , ) ( , ) ( ) ( )     =   1 2 在上述讨论中,假定了 f x y ( , 0 )  ，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算 公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的 f ( x, y) (在 D 上连续),公式(1) 总是成立的。 例 1 计算 I x d D x y x y D = (1− ) = {( , )| −1 1,0   2} 2  解 I dx x dy  x y dx 2 0 1 1 2 2 0 2 1 1 (1 ) (1 )    − − = − = −

2(1-x2h=2x、2 类似地,如果积分区域D可以用下述不等式 c≤y≤d,1(y)≤x≤中2(y) 表示且函数(y),2(y)在c,d连续,f(x,y)在D上连续,则 dφ2(y) 中2(y) ∫f(x,y)d=∫「f(x,y)x中=hJf(x,y)d 中1(y) x=1b) D n1( x=中2(y) p2(y) 图9-2-4 图 -5 显然,(2)式是先对x,后对y的二次积分。 二重积分化二次积分时应注意的问题 1.积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点 对于Ⅰ型(或II型)区域,用平行于y轴(x轴)的直线穿过区域内部,直线与区域的边 界相交不多于两点。 如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并 集 2.积分限的确定 重积分化二次积分,确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的 方法一几何法 画出积分区域D的图形(假设的图形如下)

3 8 3 2 2(1 ) 2 1 1 3 1 1 2 = − = − = − −  x dx x x 类似地,如果积分区域 D 可以用下述不等式 c  y  d , ( y)  x   ( y) 1 2 表示,且函数 1 ( y) , 2 ( y) 在 [c , d ] 上连续, f x y ( , ) 在 D 上连续,则 f x y d f x y dx dy dy f x y dx D y y c d c d y y ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )       =             = 1 2 1 2 (2) 图 9-2-4 图 9-2-5 显然,(2)式是先对 x ,后对 y 的二次积分。 二重积分化二次积分时应注意的问题 1. 积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: 对于 I 型(或 II 型)区域, 用平行于 y 轴( x 轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边 界相交不多于两点。 如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为 I 型(或 II 型)区域的并 集。 2. 积分限的确定 二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的 方法 -- 几何法。 画出积分区域 D 的图形(假设的图形如下 )

(x,2(x) (x,9(x) 图9-2 在[ab]上任取一点x,过x作平行于y轴的直线,该直线穿过区域D,与区域D的边 界有两个交点(x29(x)与(x,O2(x),这里的1(x)、Q2(x)就是将x,看作常数而对 y积分时的下限和上限:;又因x是在区间[ab]上任意取的所以再将x看作变量而对x积 分时,积分的下限为a、上限为b 例2计算xdo,其中D是由抛物线y=x及直线y=x-2所围成的区域 解积分区域可用下列不等式表示 D:-1≤y≤2,y≤x≤y+2 2 45 21(y+2 例3求由曲面=x+2y及2=6-2x2-y所围成的立体的体积。 1.作出该立体的简图,并确定它在xoy面上的投影区域

图 9-2-6 在 ab,  上任取一点 x ,过 x 作平行于 y 轴的直线,该直线穿过区域 D ,与区域 D 的边 界有两个交点 ( , ( )) 1 x  x 与 ( , ( )) 2 x  x ,这里的 ( ) 1  x 、 ( ) 2  x 就是将 x ,看作常数而对 y 积分时的下限和上限；又因 x 是在区间 ab,  上任意取的,所以再将 x 看作变量而对 x 积 分时,积分的下限为 a 、上限为 b 。 例 2 计算 D xy d  , 其中 D 是由抛物线 y x 2 = 及直线 y = x − 2 所围成的区域。 解 积分区域可用下列不等式表示 D: −1 y  2 , y  x  y + 2 2 xyd dy xydx x y dy D y y y y   =   =        − + − + 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 =  + −  = −  1 2 2 45 8 2 5 1 2 y( y ) y dy 例 3 求由曲面 z = x + y 2 2 2 及 z = 6 − 2x − y 2 2 所围成的立体的体积。 解 1. 作出该立体的简图, 并确定它在 xoy 面上的投影区域