差分方程模型的理论和方法 青岛建筑工程学院胡京爽 引 1、差分方程:差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规 律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系,从而建立 差分方程 差分方程就是针对要解决的目标,引入系统或过程中的离散变量, 根据实际背景的规律、性质、平衡关系,建立离散变量所满足的平衡 关系等式,从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解,或者分析 得到方程解的特别性质(平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性 等),从而把握这个离散变量的变化过程的规律,进一步再结合其他 分析,得到原问题的解 2、应用:差分方程模型有着广泛的应用。实际上,连续变量可以 用离散变量来近似和逼近,从而微分方程模型就可以近似于某个差分 方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险 领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治 遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样 讲,只要牵涉到关于变量的规律、性质,就可以适当地用差分方程模 型来表现与分析求解 3、差分方程建模:在实际建立差分方程模型时,往往要将变化过 程进行划分,划分成若干时段,根据要解决问题的目标,对每个时段 引入相应的变量或向量,然后通过适当假设,根据事物系统的实际变 化规律和数量相互关系,建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相 隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系(即用相应设定的变量 进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等)等式(可以多个并 且应当充分全面反映所有可能的关系),从而建立起差分方程。或者 对事物系统进行划分,划分成若干子系统,在每个子系统中引入恰当 的变量或向量,然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式,从而 建立起差分方程。在这里,过程时段或子系统的划分方式是非常非常 重要的,应当结合已有的信息和分析条件,从多种可选方式中挑选易 于分析、针对性强的划分,同时,对划分后的时段或子过程,引入哪
1 差分方程模型的理论和方法 青岛建筑工程学院 胡京爽 引言 1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规 律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立 差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量， 根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡 关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析 得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性 等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他 分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以 用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分 方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险 领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、 遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样 讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模 型来表现与分析求解。 3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过 程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段 引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变 化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相 隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量 进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并 且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者 对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当 的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而 建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常 重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易 于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪
些变量或向量都是至关重要的,要仔细分析、选择,尽量扩大对过程 或系统的数量感知范围,包括对已有的、已知的若干量进行结合运 算、取最运算等处理方式,目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析 的差分方程。在后面我们所举的实际例子中,这方面的内容应当重点 体会 差分方程模型作为一种重要的数学模型,对它的应用也应当遵从 般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合 起来使用,因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建 立都需要其他的数学分析方式来进行;另一方面,由差分方程获得的 结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析 等等。 第一节 差分方程的基本知识 基本概念 1、差分算子 设数列{xn},定义差分算子△:Axn=xn1-xn为xn在n处的向 前差分。 而Axn=xn-x为xn在n处的向后差分 以后我们都是指向前差分 可见Ax是n的函数。从而可以进一步定义Axn的差分 称之为在n处的二阶差分,它反映的是的增量的增量 类似可定义在n处的k阶差分为: △xn=△(△-(xn) 2、差分算子、不变算子、平移算子 记kxn=xn1,kn=xn,称E为平移算子,1为不变算子 则有:Axn=Exn-kxn=(E-1)xn 由上述关系可得 △xn=(E-1)xn=∑(-1) CHEx=∑(-1)Cxn( 这表明x,在n处的k阶差分由xn在n,n+1.n+k,处的取值所线性 决定。 反之
2 些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程 或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运 算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析 的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点 体会。 差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一 般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合 起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建 立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的 结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析 等等。 第一节 差分方程的基本知识 一、 基本概念 1、差分算子 设数列 xn ，定义差分算子 n n n x = x − x +1 : 为 n x 在 n 处的向 前差分。 而 n = n − n−1 x x x 为 n x 在 n 处的向后差分。 以后我们都是指向前差分。 可见 n x 是 n 的函数。从而可以进一步定义 n x 的差分： n n x x 2 ( ) = 称之为在 n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。 类似可定义在 n 处的 k 阶差分为： ( ( )) 1 n k n k x x − = 2、差分算子、不变算子、平移算子 记 n n n n Ex = x Ix = x + , 1 ，称 E 为平移算子， I 为不变算子。 则有： n n n n x = Ex − Ix = (E − I)x = E − I 由上述关系可得： n i k i i k k i n i k i i k k i n k n k x E I x C E x C x + = − = − = − = − = − 0 0 ( ) ( 1) ( 1) （1） 这表明 n x 在 n 处的 k 阶差分由 n x 在 n,n +1....n + k ，处的取值所线性 决定。 反之
由 Arn=xn+1-x 得 xn+1=xn+△x x,得 x+△ 这个关系表明:第n+2项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来 表现和计算。即一个数列的任意一项都可以用其前面的k项和包括这 项在内的k+1项增量的增量的增量..∴.第k层增量所构成 △xn=∑(-1)C 得 ∑(-1)Ckx 可以看出 x可以由x,Ax,Ax的线性组合表示出来 3、差分方程 由x以及它的差分所构成的方程 △xn=f(n,xn,Axn,△-xn) (3) 称之为k阶差分方程。 由(1)式可知(3)式可化为 F(n,xn,xn1…,xn1) 故(4)也称为k阶差分方程(反映的是未知数列x任意一项 与其前,前面k项之间的关系) 由(1)和(2)可知,(3)和(4)是等价的。 我们经常用的差分方程的形式是(4)式 4、差分方程的解与有关概念 (1)如果x使k阶差分方程(4)对所有的n成立,则称xn为 方程(4)的解。 (2)如果xn=x(x为常数)是(4)的解,即 x= F(n,,.,x) 则称x=x为(4)的平衡解或叫平衡点。平衡解可能不 只一个。平衡解的基本意义是:设xn是(4)的解,考虑 xn的变化性态,其中之一是极限状况,如果mxn=x, 则方程(4)两边取极限(x就存在在这里面),应当有 F(n,x
3 由 n n n x = x − x +1 得 n n n x = x + x +1 ： n n n n x = x − x + x +2 +1 2 2 ，得： n n n n x x x x 2 +2 = −2 +1 + + , 这个关系表明：第 n+2 项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来 表现和计算。即一个数列的任意一项都可以用其前面的 k 项和包括这 项在内的 k+1 项增量的增量的增量……..第 k 层增量所构成。 …….. ( 1) , 1 0 n i n k k i i k k i n k x C x x + + − = − = − + 得： n k n i k i i k k i n k x = − − C x + x + − = − + 1 0 ( 1) （2） 可以看出： n k x + 可以由 n k n n x ,x ,..., x 的线性组合表示出来 3、差分方程 由 n x 以及它的差分所构成的方程 ( , , ,..., ) 1 n k n n n k x f n x x x − = （3） 称之为 k 阶差分方程。 由（1）式可知（3）式可化为 ( , , ,..., ) n+k = n n+1 n+k−1 x F n x x x （4） 故（4）也称为 k 阶差分方程（反映的是未知数列 n x 任意一项 与其前，前面 k 项之间的关系）。 由（1）和（2）可知，（3）和（4）是等价的。 我们经常用的差分方程的形式是（4）式。 4、差分方程的解与有关概念 （1）如果 n x 使 k 阶差分方程（4）对所有的 n 成立，则称 n x 为 方程（4）的解。 （2）如果 − x = x n （ − x 为常数）是（4）的解，即 ( , ,..., ) − − − x = F n x x 则称 − x = x n 为（4）的平衡解或叫平衡点。平衡解可能 不 只一个。平衡解的基本意义是：设 n x 是（4）的解，考虑 n x 的变化性态，其中之一是极限状况，如果 x x n n = → lim ， 则方程（4）两边取极限（ x 就存在在这里面），应当有 ( , ,..., ) − − − x = F n x x
(3)如果(4)的解x使得x-x既不是最终正的,也不是最终 负的,则称x为关于平衡点x是振动解 (4)如果令:yn=xn-x,则方程(4)会变成 yu+k=g(n,yux,yn+k-D) (5) 则y=0成为(5)的平衡点。 (5)如果(5)的所有解是关于y=0振动的,则称k阶差分方 程(5)是振动方程。如果(5)的所有解是关于y=0非 振动的,则称k阶差分方程(5)是非振动方程。 (6)如果(5)有解y,使得对任意大的N,有 Suply>0 则称y为正则解。(即不会从某项后全为零) (7)如果方程(4)的解x使得Lmxn=x,则称xn为稳定解。 5、差分算子的若干性质 (axn+的vn)=aA(xn)+B△v (2) △(一) (yn△xn- x,Ay) (3) V=J Jk xaya+∑xAyk (5) x=∑Cn 6、Z变 定义:对于数列xn,定义复数级数 ()=2(xn)=∑ (6) 这是关于洛朗级数。它的收敛域是:R<|<R,其中R2可以为 ∞,R可以为0。称Z(xn)为xn的=-变换 由复变函数展开成洛朗级数的唯一性可知:z变换是一一对应 的,从而有逆变换,记为: x=Z(x() (7) z变换是研究数列的有效工具
4 （3）如果（4）的解 n x 使得 − x − x n 既不是最终正的，也不是最终 负的，则称 n x 为关于平衡点 − x 是振动解。 （4）如果令： − y = x − x n n ，则方程（4）会变成 ( , ,..., ) n+k = n n+k−1 y G n y y （5） 则 y = 0 成为（5）的平衡点。 （5）如果（5）的所有解是关于 y = 0 振动的，则称 k 阶差分方 程 （5）是振动方程。如果（5）的所有解是关于 y = 0 非 振动的，则称 k 阶差分方程（5）是非振动方程。 （6）如果（5）有解 n y ，使得对任意大的 N y 有 0 n n N Sup y y 则称 n y 为正则解。（即不会从某项后全为零） （7）如果方程（4）的解 n x 使得 − → Lim x = x n n ，则称 n x 为稳定解。 5、差分算子的若干性质 （1） n n n n (x + y ) =.(x ) + y （2） ( ) 1 ( ) 1 n n n n n n n n y x x y y y y x = − + （3） n n n n n n x y = y x + x y +1 ( ) （4） = = + = + + − + b k a a k k b k a k k b b a y x x y x y x y 1 1 1 （5） = = = + = n i i i n n n n x E x I x C x 0 0 0 0 ( ) 6、Z 变换 定义：对于数列 n x ，定义复数级数 = − = = 0 ( ) ( ) k k n k X z Z x x z （6） 这是关于 z 洛朗级数。它的收敛域是： 1 R2 R z ，其中 R2 可以为 ， R1 可以为 0。 称 ( ) n Z x 为 n x 的 z -变换。 由复变函数展开成洛朗级数的唯一性可知： z 变换是一一对应 的，从而有逆变换，记为： ( ( )) 1 x Z X z n − = （7） z 变换是研究数列的有效工具
z变换的若干重要性质: (1)线性性Z(xn+/n)=aZ(x)+BZ(n) (2)平移性质Z(xn)=X()-∑x2+ z变换举例 (1)c(m)=∞n=0则z(m)=∑()2+=(×=1 0.n≠0 k=0 (2)u(m)= ∫Lk≥0 0,k1 k=0 (3)设f(m)=a,则z(a)=∑a4=+=-=.|>a,a>0 (4)设/(o21则zxb)===H>0 第二节差分方程常用解法与性质分析 常系数线性差分方程的解 方程axnk+a1xn1+…+a1xn=b(n) (8) 其中an,a2,a为常数,称方程(8)为常系数线性方程。 又称方程axnk+a1x++a4xn=0(9) 为方程(8)对应的齐次方程。 如果(9)有形如x=的解,带入方程中可得 a02+a121+…+a-1+a4=0 (10) 称方程(10)为方程(8)、(9)的特征方程。 显然,如果能求出(10)的根,则可以得到(9)的解。 基本结果如下
5 z 变换的若干重要性质： （1）线性性 ( ) ( ) ( ) n n n n Z x + y =Z x + Z y （2）平移性质 ( ) [ ( ) ] 1 0 − = − + = − N k k k N n N Z x z X z x z z 变换举例： （1） = = 0, 0 , 0 ( ) n n n , 则 = = − − = = = 0 ( ( )) ( ) (1 ) 0 1 k k k k Z n k z z （2） = 0, 0 1, 0 ( ) k k u n ，则 = = − − − = = = 0 0 , 1, 1 ( ( )) ( ) k k k k z z z Z u n u k z z （3）设 ( ) , n f n = a 则 = − − = = 0 ( ) , , 0, k n k k z a a z a z Z a a z （4）设 , ! 1 ( ) n f n = 则 , 0 ! 1 ) ! 1 ( 0 1 = = = − z e z n k Z k z k 第二节 差分方程常用解法与性质分析 1、常系数线性差分方程的解 方程 ... ( ) a0 xn+k + a1 xn+k−1 + + ak xn = b n （ 8） 其中 a a ak , ,..., 0 1 为常数，称方程（8）为常系数线性方程。 又称方程 a0 xn+k + a1 xn+k−1 +...+ ak xn = 0 （9） 为方程（8）对应的齐次方程。 如果（9）有形如 n n x = 的解，带入方程中可得： ... 1 0 1 0 + 1 + + − + = − k k k k a a a a （10） 称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。 显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。 基本结果如下：
(1)若(10)有k个不同的实根,则(9)有通解: xn=CM +C2 (2)若(10)有m重根λ,则通解中有构成项: (c1+c2n+…+cnm) (3)若(10)有一对单复根=a±iB,令:A=p= p=a2+B2,o=arcn,则(9)的通解中有构成项: (4)若有m重复根:=a±iB,A=P,则(9)的通项中有构成 项 (C,+C2n+.+cm n")p"cos n+(cm+l +Cm2 n+.+C2m n" P"sin n 综上所述,由于方程(10)恰有k个根,从而构成方程 (9)的通解中必有k个独立的任意常数。通解可记为:xn 如果能得到方程(8)的一个特解:x,则(8)必有通解: x=x +x 8)的特解可通过待定系数法来确定 例如:如果b(n)=b"pn(m),pn(n)为n的多项式,则当b不是特征根 时,可设成形如b"qn(n)形式的特解,其中qn(n)为m次多项式;如果b 是r重根时,可设特解:b"nqn(m),将其代入(8)中确定出系数即 可 2、差分方程的z变换解法 对差分方程两边关于x取Z变换,利用xn的Z变换F(z)来 表示出x的Z变换,然后通过解代数方程求出F(z),并把F(z) 在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数,其系数就是所要求的xn 例1设差分方程xn2+3x+2xn=0,x=0,x1=1,求xn 解:解法1:特征方程为2+3+2=0,有根:1=-12 故:xn=c(-1)+c2(-2)为方程的解。 由条件x0=0.x=1得:xn=(-1)”-(-2) 解法2:设F(z)=Z(xn)方程两边取变换可得
6 （1） 若（10）有 k 个不同的实根，则（9）有通解： n k k n n n x = c11 + c22 +...+ c ， （2） 若（10）有 m 重根 ，则通解中有构成项： m n (c c n ... cm n ) 1 1 2 − − − − + + + （3）若（10）有一对单复根 = i ，令： i e = ， , arctan 2 2 = + = ，则（9）的通解中有构成项： c n c n n n 1 cos 2 sin − − + （4）若有 m 重复根： = i ， i e = ，则（9）的通项中有构成 项： c c n c n n c c n c n n m n m m m m n ( ... m ) cos ( ... ) sin 1 1 2 2 1 1 2 − − − + + − − − + + + + + + + 综上所述，由于方程（10）恰有 k 个根，从而构成方程 （9）的通解中必有 k 个独立的任意常数。通解可记为： − n x 如果能得到方程（8）的一个特解： * n x ，则（8）必有通解： xn = − n x + * n x （11） （8） 的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果 b(n) b p (n), p (n) m m n = 为 n 的多项式，则当 b 不是特征根 时，可设成形如 b q (n) m n 形式的特解，其中 q (n) m 为 m 次多项式；如果 b 是 r 重根时，可设特解： n r b n q (n) m ，将其代入（8）中确定出系数即 可。 2、差分方程的 z 变换解法 对差分方程两边关于 n x 取 Z 变换，利用 n x 的 Z 变换 F（z）来 表示出 n k x + 的 Z 变换，然后通过解代数方程求出 F（z），并把 F(z) 在 z=0 的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的 n x 例1 设差分方程 xn+2 + 3xn+1 + 2xn = 0, x0 = 0, x1 =1 ，求 n x 解：解法 1：特征方程为 3 2 0 2 + + = ，有根： 1 = −1,2 = −2 故： n n n x c ( 1) c ( 2) = 1 − + 2 − 为方程的解。 由条件 x0 = 0, x1 = 1 得： n n n x = (−1) − (−2) 解法 2：设 F（z）=Z( n x ),方程两边取变换可得：
2(F(z)-x0-x1-)+3(F(x)-x0)+2F(z)=0 由条件xn=0,x1=1得F()=+32+2 由F(z)在|>2中解析,有 F(=)=z( z+12+2 ∑(-1)2x-2(-1)2=∑(-1)(1-2)x k=0 所以,x 3、二阶线性差分方程组 设=(n)=(-),A=(),形成向量方程组 二(n+1)=A=(m) (12) 则 (n+1)=A"=(1) (13) (13)即为(12)的解 为了具体求出解(13),需要求出A",这可以用高等代数的方法 计算。常用的方法有: (1)如果A为正规矩阵,则A必可相似于对角矩阵,对角线上 的元素就是A的特征值,相似变换矩阵由A的特征向量构成: A=pAy,A=pA"p,∴=(n+1)=(pAp)(1)。 (2)将A分解成A=5n1,5,n为列向量,则有 A=(5m)”=5m5n1.5n=(2mn).A 从而,z(n+1)=A"=()=(m)-1A(1) (3)或者将A相似于约旦标准形的形式,通过讨论A的特征值的性态,找 出A的内在构造规律,进而分析解z(m)的变化规律,获得它的 基本性质 、关于差分方程稳定性的几个结果 (1)k阶常系数线性差分方程(8)的解稳定的充分必要条件是 它对应的特征方程(10)所有的特征根1,1=12.k满足风|<1 (2)一阶非线性差分方程 (14) (14)的平衡点x由方程x=f(x)决定
7 ) 3 ( ( ) ) 2 ( ) 0 1 ( ( ) . 0 1 0 2 − − + z F z −x + F z = z z F z x x 由条件 x0 = 0, x1 = 1 得 3 2 ( ) 2 + + = z z z F z 由 F（z）在 z 2 中解析，有 = = − = = − − − = − − + − + = + − + = 0 0 0 ( 1) (1 2 ) 2 ( 1) 1 ( 1) 2 1 1 1 1 1 ) 2 1 1 1 ( ) ( k k k k k k k k k k z z z z z z z F z z 所以， n n n x = (−1) − (−2) 3、二阶线性差分方程组 设 z(n) = ( ) n y x n ， ( ) c d a b A = ，形成向量方程组 z(n +1) = Az(n) （12） 则 z(n 1) A z(1) n + = （13） （13）即为（12）的解。 为了具体求出解（13），需要求出 n A ，这可以用高等代数的方法 计算。常用的方法有： （1）如果 A 为正规矩阵，则 A 必可相似于对角矩阵，对角线上 的元素就是 A 的特征值，相似变换矩阵由 A 的特征向量构成： , , ( 1) ( ) (1) 1 1 1 A p p A p p z n p p z n n n = = + = − − − 。 （2）将 A 分解成 ,, /, A = 为列向量，则有 A A n n n ( . ) . . . ... . ( ) . / /. / / −1 = = = 从而， ( 1) (1) ( ) . (1) / 1 z n A z Az n n− + = = （3） 或者将 A 相似于约旦标准形的形式，通过讨论 A 的特征值的性态，找 出 n A 的内在构造规律，进而分析解 z(n) 的变化规律，获得它的 基本性质。 4、关于差分方程稳定性的几个结果 （1）k 阶常系数线性差分方程（8）的解稳定的充分必要条件是 它对应的特征方程（10）所有的特征根 i k i , =1,2... 满足 i 1 （2）一阶非线性差分方程 ( ) n 1 n x = f x + （14） （14）的平衡点 − x 由方程 ( ) − − x = f x 决定
将f(x)在点x处展开为泰勒形式: f(x,=f(xXx-x)+f(x) (15) 故有:f(x)1时,方程(14)的平衡点x是不稳定的 第三节差分方程建模举例 差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致 的,也需要经历背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的 数值表示(变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等) 概念和记号、几何形式(事物形状、过程轨迹、坐标系统 等),也就是说要把事物的性态、结构、过程、成分等用数学 概念、原理、方法来表现、分析、求解。当然,由于差分方程 的特殊性,首先应当把系统或过程进行特别分解,形成表现整 个系统的各个部分的离散取值形式,或形成变化运动过程的时 间或距离的分化而得到离散变量。然后通过内在的机理分析, 找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律,从而 得到差分方程。另外,有时有可能通过多个离散变量的关系得 到我们关心的变量的关系,这实际上建立的是离散向量方程, 它有着非常重要的意义。有时还需要找出决定变量的初始条 件。有时还需要将问题适当分成几个子部分,分别求解。 模型1种群生态学中的虫口模型: 在种群生态学中,考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变 化,他的变化规律是:每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死 亡,第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。建立数学模型来表 现虫子数目的变化规律 模型假设与模型建立:假设第n年的虫口数目为P,每年 一个成虫平均产卵c个(这个假设有点粗糙,应当考虑更具体 的产卵分布状况),则有:P1=cP,这是一种简单模型 如果进一步分析,由于成虫之间会有争斗以及传染病、天 敌等的威胁,第n+1年的成虫数会减少,如果考虑减少的主要
8 将 ( ) n f x 在点 − x 处展开为泰勒形式： ( ) ( )( ) ( ) / − − − f x = f x x − x + f x n n （15） 故有： ( ) 1 / − f x 时，（14）的解 − x 是稳定的， ( ) 1 / − f x 时，方程（14）的平衡点 − x 是不稳定的。 第三节 差分方程建模举例 差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致 的，也需要经历背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的 数值表示（变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等） 概念和记号、几何形式（事物形状、过程轨迹、坐标系统 等），也就是说要把事物的性态、结构、过程、成分等用数学 概念、原理、方法来表现、分析、求解。当然，由于差分方程 的特殊性，首先应当把系统或过程进行特别分解，形成表现整 个系统的各个部分的离散取值形式，或形成变化运动过程的时 间或距离的分化而得到离散变量。然后通过内在的机理分析， 找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而 得到差分方程。另外，有时有可能通过多个离散变量的关系得 到我们关心的变量的关系，这实际上建立的是离散向量方程， 它有着非常重要的意义。有时还需要找出决定变量的初始条 件。有时还需要将问题适当分成几个子部分，分别求解。 模型 1 种群生态学中的虫口模型： 在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变 化 ，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死 亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。建立数学模型来表 现虫子数目的变化规律。 模型假设与模型建立：假设第 n 年的虫口数目为 Pn ，每年 一个成虫平均产卵 c 个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体 的产卵分布状况），则有： n n P +1 = cP ，这是一种简单模型； 如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天 敌等的威胁，第 n+1 年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要
原因是虫子之间的两两争斗,由于虫子配对数为 1p(pn-1)≈pn,故减少数应当与它成正比,从而有: 这个模型可化成:xn1=ax,(1-xn),这是一阶非线性差分方程。 这个模型的解的稳定性可以用相应一阶差分方程的判断方法, 即(14)式来获得。 如果还考虑其它的影响成虫孵卵及成活的因素的定量关 系,这个模型在此基础上仍可进一步改进,更加符合实际情 形。这种关系一方面可以通过机理分析,确定减少量与影响因 素的定量关系,另一方面也可以用统计的方法来线性估计影响 程度。或者还可以用影响曲线的方法来直观表现影响的比例关 系、周期关系、增量关系等等。 模型2具周期性的运动过程的差分方程模型 建立差分方程描述振动台上的乒乓球垂直运动的方程,即把运动 过程中的某些离散变化取值的变量的变化规律表现出来。 假设:乒乓球与振动台之间的振动恢复系数为aa≤1 振动台台面的上下位移是- Bsin ot,乒乓球初始时刻在离台面 垂直距离为H处为自由落体运动B<H。又假设t,为第j次碰 撞时刻,第j次碰撞前的速度为-a(,),碰撞后的速度为v(t,)。 假设u(灬)=v()。振动台台面的运动速度为 0(0)=2(-Bsm0)=- Bcos01;又记=1y=20y,则有: 20v /+/ g p+1-,= (3.1) 另外,由碰撞规律分析可知: +1-O(r+1)=a(-y+1+o(+1) 该式经简化处理后可得: V:1=a0 j-ycos(+v,) (3.2) 由(1)和(2)式联立可得二阶差分非线性方程组
9 原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为 ( 1) 2 1 pn pn − 2 2 1 pn ，故减少数应当与它成正比，从而有： 2 n 1 n bPn P + = cP − 这个模型可化成： (1 ) n 1 n n x = x − x + ，这是一阶非线性差分方程。 这个模型的解的稳定性可以用相应一阶差分方程的判断方法， 即（14）式来获得。 如果还考虑其它的影响成虫孵卵及成活的因素的定量关 系，这个模型在此基础上仍可进一步改进，更加符合实际情 形。这种关系一方面可以通过机理分析，确定减少量与影响因 素的定量关系，另一方面也可以用统计的方法来线性估计影响 程度。或者还可以用影响曲线的方法来直观表现影响的比例关 系、周期关系、增量关系等等。 模型 2 具周期性的运动过程的差分方程模型 建立差分方程描述振动台上的乒乓球垂直运动的方程，即把运动 过程中的某些离散变化取值的变量的变化规律表现出来。 假设：乒乓球与振动台之间的振动恢复系数为 , 1 振动台台面的上下位移是 t ~ − sin ，乒乓球初始时刻在离台面 垂直距离为 H 处为自由落体运动 H 。又假设 j t 为第 j 次碰 撞时刻，第j 次碰撞前的速度为 ( ) j − u t ，碰撞后的速度为 ( ) j v t 。 假设 ( ) ( ) j 1 j u t = v t + 。振动台台面的运动速度为 t t dt d t ~ ~ ( ) = (− sin ) = − cos ；又记 g v t v ~ ~ 2 , = = ，则有： g v t t t j j j 2 ( ) 1 1 + + − = ， g v t t j j j ~ 1 ~ 2 ( ) + − = ， j j j − = v +1 （3.1） 另外，由碰撞规律分析可知： ( ) ( ( )) j+1 − j+1 = − j+1 + j+1 v t u t 该式经简化处理后可得： cos( ) j 1 j j j v = v − + v + （3.2） 由（1）和（2）式联立可得二阶差分非线性方程组
模型3蛛网模型 (1)经济背景与问题:在自由市场经济中,有些商品的生产、销 售呈现明显的周期性。农业产品往往如此,在工业生产中, 许多商品的生产销售是有周期性的,表现在:商品的投资 销售价格、产量、销售量在一定时期内是稳定的,因而整个 某个较长的时期内这些经济数据表现为离散变量的形式。在 这些因素中,我们更关心的是商品的销售价格与生产产量这 两个指标,它们是整个经营过程中的核心因素,要想搞好经 营,取得良好的经济效益,就必须把握好这两个因素的规 律,作好计划。试分析市场经济中经营者根据市场经济的规 律,如何建立数学模型来表现和分析市场趋势的。 (2)模型假设与模型建立 将市场演变模式划分为若干段,用自然数n来表示; 设第n个时段商品的数量为xn,价格为yn,n=1,2…; 由于价格与产量紧密相关,因此可以用一个确定的关系来表 现:即设有yn=f(xn) (3.3) 这就是需求函数,f是单调减少的对应关系; 又假设下一期的产量x是决策者根据这期的价格决定 的,即:设xn1=M(yn),h是单调增加的对应关系, 从而,有关系:yn=g(xn1) (34) g也是单调增加的对应关系 因此可以建立差分方程:xn1=Mf(x,(3.5) y,,=fTh(y,)](3.6) 这就是两个差分方程。属一阶非线性差分方程
10 j j j − = v +1 cos( ) j 1 j j j v = v − + v + 模型 3 蛛网模型 （1）经济背景与问题：在自由市场经济中，有些商品的生产、销 售呈现明显的周期性。农业产品往往如此，在工业生产中， 许多商品的生产销售是有周期性的，表现在：商品的投资、 销售价格、产量、销售量在一定时期内是稳定的，因而整个 某个较长的时期内这些经济数据表现为离散变量的形式。在 这些因素中，我们更关心的是商品的销售价格与生产产量这 两个指标，它们是整个经营过程中的核心因素，要想搞好经 营，取得良好的经济效益，就必须把握好这两个因素的规 律，作好计划。试分析市场经济中经营者根据市场经济的规 律，如何建立数学模型来表现和分析市场趋势的。 （2）模型假设与模型建立 将市场演变模式划分为若干段，用自然数 n 来表示； 设第 n 个时段商品的数量为 n x ，价格为 n y ，n=1,2….; 由于价格与产量紧密相关，因此可以用一个确定的关系来表 现：即设有 ( ) n n y = f x （3. 3） 这就是需求函数，f 是单调减少的对应关系; 又假设下一期的产量 n+1 x 是决策者根据这期的价格决定 的，即：设 ( ) n 1 n x = h y + ，h 是单调增加的对应关系， 从而，有关系： ( ) n = n+1 y g x （3.4） g 也是单调增加的对应关系. 因此可以建立差分方程： [ ( )] n 1 n x = h f x + （3.5） [ ( )] n 1 n y = f h y + （3.6） 这就是两个差分方程。属一阶非线性差分方程