第八节微分在近似计算中的应用 巴一、计算函数增量的近似值 巴二、计算函数的近似值 巴三、误差估计 四四、小结思考题
-计算函数增量的近似值 若y=f(x)在点x处的导数f(x0)≠0,且 △x很小时, △ =x≈ x=xo f(x0)·△x 庄例1半径1厘米的金属圆片加热后半径伸长了 005厘米,问面积增大了多少 解设A=r2,r=10厘米,△r=0.05厘米 牛:△A≈d=2m,=2x×0×05=m(厘米3) 上页
一、计算函数增量的近似值 , ( ) ( ) 0, 0 0 很小时 若 在点 处的导数 且 x y f x x f x = 例1 0.05 , ? 10 , 厘米 问面积增大了多少 半径 厘米的金属圆片加热后 半径伸长了 解 , 2 设A = r r = 10厘米, r = 0.05厘米. A d = 2r r = 2 100.05 ( ). 厘米2 = ( ) . = f x0 x 0 0 x x dy x x y = =
二、计算函数的近似值 1求f(x)在点x=x附近的近似值 y=f(x0+△x)-f(x)≈f(x)△x 王f(x+△x)/xn)+f(x)△,△x很小时 王例1计算600的近似值 牛解设(x)=cosx,:f(x)=-six(x为弧度) x0= △y= 3 360 上页
二、计算函数的近似值 1. ( ) ; 求f x 在点x = x0附近的近似值 ( ) ( ) 0 x0 y = f x + x − f ( ) . f x0 x ( ) ( ) ( ) . f x0 + x f x0 + f x0 x (x很小时) 例1 cos 60 30 . 计算 o 的近似值 解 设f (x) = cos x, f (x) = −sin x, (x为弧度) , 360 , 3 0 = x = x
∫() 32 ( 2 ∴c0s60°30=c0s(。+ 7 7C )≈cos"-sin 3360 3 3360 √3兀 0.4924. 22360 工工工 2求f(x)在点x=0附近的近似值 令x0=0,△x=x ∵∫(x0+Ax)≈f(x0)+f(x0)△x, f(x)≈f(0)+f(0)x 上页
. 2 3 ) 3 , ( 2 1 ) 3 ( = − = f f ) 3 360 cos60 30 cos( o + = 3 360 sin 3 cos − 2 360 3 2 1 = − 0.4924. 2.求f (x)在点x = 0附近的近似值; f (x) f (0) + f (0) x. ( ) ( ) ( ) , f x0 + x f x0 + f x0 x 0, . 令 x0 = x = x
常用近似公式(x很小时) (1)1+x≈1+x;(2)sinx≈x(x为弧度) n (3)tanx≈x(x为弧度:(4)e≈1+x (5)ln(1+x)≈x 证明(1)设∫(x)=1+x,∫(x)=(1+x) n f(0)=1,f(0) 工工 n ∫(x)≈∫(0)+f(0)x=1+x n 上页
常用近似公式 ( x很小时) (5) ln(1 ) . (3) tan ( );(4) 1 ; ; (2)sin ( ); 1 (1) 1 1 x x x x x e x x x x x n x x n + + + + 为弧度 为弧度 证明 (1) ( ) 1 , n 设 f x = + x (1 ) , 1 ( ) 1 1 − = + n x n f x . 1 (0) 1, (0) n f = f = f (x) f (0) + f (0)x 1 . n x = +
例2计算下列各数的近似值 (1)39985;(2)e -0.03 解(1)39985=31000-1.5 =310015 l0on)=1031-0.0015 ≈10(1-×0.0015)=9.995. 3 (2)e"≈1-0.03=0.97 上页
例 2 计算下列各数的近似值. 解 (1) 998.5; (2) . 3 −0.03 e 3 3 (1) 998.5 = 1000 − 1.5 3 ) 1000 1.5 = 1000(1 − 3 = 10 1 − 0.0015 0.0015) 31 10(1 − = 9 .995 . (2) 1 0.03 0.03 − − e = 0.97
生三、误差估计 A由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法 王等各种因素的影响,测得的数据往往带有误差, 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误 差,我们把它叫做间接测量误差 定义:如果某个量的精度值为A,它的近似值 为a,那末A-a叫做a的绝对误差 而绝对误差与a的比值 A-a 叫做的相对误差 问题在实际工作中绝对误差与相对误差无法求得?
三、误差估计 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法 等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差， 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误 差，我们把它叫做间接测量误差. 定义： , . , 为 那 末 叫 做 的绝对误差 如果某个量的精度值为 它的近似值 a A a a A − 而绝对误差与 的比值 叫 做a的相对误差. a A a a − 问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?
办法:将误差确定在某一个范围内 如果某个量的精度值是A,测得它的近似值是n 中又知道它的误差不超违,即 A-a≤8 As 王那末叫做测量的绝对误差呢而叫做测量 A的相对误差限 通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误 差与相对误差 上页
办法:将误差确定在某一个范围内. . , , , , , 的相对误差限 那 末 叫做测量 的绝对误差限 而 叫做测量 又知道它的误差不超过 即 如果某个量的精度值是 测得它的近似值是 A a A A a A a A A A A − 通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误 差与相对误差
士 A例3正方形边长为2.41+0.005米,求出它的面积 并估计绝对误差与相对误差 解设正方形边长为x,面积为,则y=x2 当x=241时,y=(241)2=58081(m2) yx=241=2x x=241= 4.82 边长的绝对误差为δ=0.005 王∴面积的绝对误差为=482×0.0050241(m2 面积的相对误差为2=02 241 ≈0.4 y5.8081 王页下
例 3 . 2.4 1 0.005 , , 并估计绝对误差与相对误 差 正方形边长为 米 求出它的面积 解 设正方形边长为x,面积为y,则 . 2 y = x 当x = 2.41时, (2.41) 5.8081( ). 2 2 y = = m =2.41 = 2 =2.41 x x x y = 4.82. = 0.005, 边长的绝对误差为 x 面积的绝对误差为 y = 4.82 0.005 0.0241 ( ). 2 = m y y 面积的相对误差为 5.8081 0.0241 = 0.4%
生四、小结 近似计算的基本公式 当△x很小时, △ X=x ≈dyx=x=f(x0)△x 0 f(x)≈f(x0)+f(x0)·(x-x0) 王当x=时, f(x)≈f(0)+f'(0)x 上页
四、小结 近似计算的基本公式 f (x) f (0) + f (0) x. 0 0 x x dy x x y = = ( ) . = f x0 x ( ) ( ) ( ) ( ), 0 x0 x x0 f x f x + f − 当x很小时, 当x = 0时
