《高等数学》课程教学资源：第四节 函数的极限

第四节函数的极限 自变量趋向无穷大时函数的极限 自变量趋向有限值时函数的极限 巴三、函数极限的性质 四、小结思考题

自变量趋向无穷大时函数的极限 观察函数nx当x→∞0时的变化趋势 075 上页

. sin 观察函数 当 x →  时的变化趋势 x x 播放 一、自变量趋向无穷大时函数的极限

问题:函数y=f(x)在x→∞的过程中,对应 函数值∫(x)无限趋近于确定值A 通过上面演示实验的观察: 王当x无限增大时,/(=x无限接近于0 工工工 问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近 f(x)-4X表示x→>∞的过程 上页

问题:函数 y = f ( x)在x →  的过程中, 对 应 函数值 f (x)无限趋近于确定值 A. f (x) − A   表示 f (x) − A任意小; x  X 表示x → 的过程. 0. sin 当 无限增大时, ( ) 无限接近于 x x x f x = 通过上面演示实验的观察: 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近

1.定义: 定义1如果对于任意给定的正数(不论它多么小 总存在着正数X,使得对于适合不等式x>X的一切 x所对应的函数值(x)都满足不等式/(x)-A4∞) x→0 王”-X"定义imf(x)=A分 王v>0x0,使当x>时恒有(4<a 圆[t 上页

定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数X ,使得对于适合不等式x  X 的一切 x,所对应的函数值 f (x)都满足不等式 f ( x) − A   , 那末常数A就叫函数 f (x)当x →  时的极限,记作 lim ( ) = ( ) → ( → ) → f x A f x A x x 或 当 1. 定义 : " − X"定义   0,X  0,使当x  X时,恒有 f (x) − A  . =  → f x A x lim ( )

2.另两种情形: 1°.x→>+0情形:limf(x)=A x→+0 E>0,丑X>0,使当x>X时,恒有f(x)-A0,X>0,使当x<-X时,恒有f(x)-A<E 牛定理:lmf(x)=Almf(x)=A且Imf(x)=A 上页

1 . : 0 x → + 情形   0, X  0, 使当x  X时, 恒有 f (x) − A   . 2 . : 0 x → − 情形 f x A x = →− lim ( )   0,X  0,使当x  −X时,恒有 f (x) − A   . f x A x = →+ lim ( ) 2.另两种情形: 定理:lim x→ f (x) = A  lim f (x) A lim f (x) A. x x = = →+  且 →− 

3几何解释 sInx 8 当x时,函数y=/(x/图形完全落在以 直线y=A为中心线,宽为2E的带形区域内 上页

x x y sin = 3.几何解释: −   − X X , 2 . , ( ) 直线 为中心线 宽为 的带形区域内 当 或 时 函数 图形完全落在以 =   −  = y A x X x X y f x A

im〃Ctgx= x→>+∞ lim arctor=I x→-00 2 lim arctgx x→ 上页

2 lim 2 lim   = − = →− →+ arctgx arctgx x x arctgx x→ lim

sInx 例1证明lim sIn -=0 证 sIn =0= sinx 0,取X=,则当x>X时恒有 sInd -0<8 故 lim sinr =0 x→0 c定义:如果lmf(x)=c则直线y=c是函数y=f(x) 的图形的水平渐近线 上页

x x y sin = 例 1 0. sin lim = →  x x x 证明 证 x x x x sin 0 sin  − = x1  X1  =  ,    0 , , 1 取 X = 则当 x  X时恒有 0 , sin −   x x 0. sin lim = →  x x x 故. : lim ( ) , ( ) 的图形的水平渐近线 定义 如果 f x c 则直线 y c是函数y f x x = = = →

二、自变量趋向有限值时函数的极限 问题:函数y=f(x)在x→x0的过程中对应 函数值∫(x)无限趋近于确定值A 庄f()-48表示/(x)-4任意小 0<x-x0<表示x→x的过程 工工工 0-8 0 0 +δ 点x的去心δ邻域,δ体现接近x程度 上页

二、自变量趋向有限值时函数的极限 问 题:函 数 y = f ( x)在 x → x0的过程中,对 应 函数值 f (x)无限趋近于确定值 A. f (x) − A   表示 f (x) − A任意小; 0 .  x − x0   表示x → x0的过程 x0 −  x0 +  x x0   , 点x0的去心邻域 . 体现x接近x0程度

王1.定义 定义2如果对于任意给定的正数(不论它多 么小),总存在正数δ,使得对于适合不等式 0x0时的极限,记作 limf(x)=A或f(x)→>A(当x→>x0) x→>x0 6-8"定义ve>038>0,使当0<x-x<8时, 恒有f(x)-A<E 上页

定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多 么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式  −   0 x x0 的一切x ,对应的函数值f (x) 都 满足不等式 f (x) − A  ,那末常数A 就叫函数 f (x)当x → x0时的极限,记作 lim ( ) ( ) ( ) 0 0 f x A f x A x x x x = → → → 或 当 1.定义: " − "定义 ( ) . 0, 0, 0 , 0 −        −   f x A x x 恒有 使当 时