第九节曲率 弧微分 曲率及其计算公式 曲率圆与曲率半径 巴四、小结思考题
、弧微分 c设函数f(x)在区间a,) 内具有连续导数 M R 基点:A(x0,yV0), 庄Mx为任意一点,x x+△x 王规定(曲线的正向与增大的方向一数 (2)AM=s,当4M的方向与曲线正向 致时,s取正号,相反时,s取负号 上页
一、弧微分 N R T A 0 x M x x + x . ( ) ( , ) 内具有连续导数 设函数f x 在区间 a b x y o : ( , ), 0 0 基点 A x y M(x, y)为任意一点, 规定： (1)曲线的正向与x增大的方向一致; (2) AM = s, 一致时, 取正号,相反时, 取负号. 当 的方向与曲线正向 s s AM
王 y 王单调增函数=(x) R 设N(x+△x,y+△y,如图, ox x+△xx MNMM+N7当△x→0时, △ MN=√(△)+(4y)2=1+(4)△x→l+y2c, =△s→db, MT=x)2+(y)2=1+y2d, cM=Ay-d→0,故=+p”1,孤微分公式 庄“为单调增数,故y 上页
单调增函数 s = s(x). 设N(x + x, y + y), 如图， MN MN MT + NT 当x → 0时, 2 2 MN = (x) + (y) x x y = + 2 1 ( ) 1 , 2 → + y dx MN = s → ds, 2 2 MT = (dx) + (dy) 1 , 2 = + y dx NT = y − dy → 0, 1 . 2 故 ds = + y dx s = s(x)为单调增函数, 1 . 2 故 ds = + y dx 弧微分公式 N M T A R 0 x x x + x x y o
二、曲率及其计算公式 1曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量。 △a 2 △s M △S M M △S1 △S,/N △a 弧段弯曲程度 转角相同弧段越 越大转角越大 短弯曲程度越大 上页
二、曲率及其计算公式 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。 M1 M3 2 M2 S2 S1 M M S1 S2 N N 弧段弯曲程度 越大转角越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 1.曲率的定义 1
设曲线C是光滑的, 庄M是基点M=△ M 王M→M切线转角为a.Sm见一 午定义 牛弧段M的平均曲率为k=Aa △ 王曲线C在点从处的曲率K=km△ 王在m △adc =存在的条件下,K= da △s->0△sd ds 上页
+ S S ) . M. M C M0 y o x . s MM K = 弧段 的平均曲率为 设曲线C是光滑的， . M0 是基点 MM = s, M → M 切线转角为 . 定义 s K s = →0 曲线C在点M处的曲率 lim lim , 0 在 存在的条件下 ds d s s = → . ds d K =
注意(1)直线的曲率处处为零; (2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大 2曲率的计算公式 午设y=(x)=阶可导;如na=y, 工工工 有a= arctan y,da= dx 1+y d=1+yd,…4=y 3 2 (1+y 上页
2.曲率的计算公式 注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大. 设y = f (x)二阶可导, tan = y , , 1 2 dx y y d + = . (1 ) 2 3 2 y y k + = 有 = arctan y , 1 . 2 ds = + y dx
设 x=o(t), y=m(,二阶可导, d y o(ty(t)-o"(ty(t) de '(t) dx 2 3 h≤9(t)y"(1)-yy(a p2(t)+v"2(t)2 上页
, ( ), ( ), 设 二阶可导 = = y t x t . [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 t t t t t t k + − = , ( ) ( ) t t dx dy = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 t t t t t dx d y − =
例1抛物线y=ax2+bx+c上哪一点的曲率最大? 解y=2ax+b,y"=2a, ,k= 1+(2ax+b)22 显然,当x=一时,k最大 2a bb=-4ac 又∷( )为抛物线的顶点, 2a 4a 抛物线在顶点处的曲率最大 上页
例1 ? 抛物线 y = ax2 + bx + c 上哪一点的曲率最大 解 y = 2ax + b, y = 2a, . [1 (2 ) ] 2 2 3 2 ax b a k + + = 显然, , 2 当 时 a b x = − k最大. ) , 4 4 , 2 ( 2 又 为抛物线的顶点 a b ac a b − − − 抛物线在顶点处的曲率最大
例2铁轨由直道转入圆弧弯道时,若接头处 的曲率突然改变,容易发生事故,为了行驶平 稳,往往在直道和 弯道之间接入一段 缓冲段(如图),使曲 率连续地由零过渡 牛到(R为圆弧轨道 点击图片任意处播放暂停 牛的半径 上页
点击图片任意处播放\暂停 ). ( 1 ( ), , 的半径 到 为圆弧轨道 率连续地由零过渡 缓冲段 如图 使曲 弯道之间接入一段 稳，往往在直道和 的曲率突然改变 容易发生事故，为了行驶平 铁轨由直道转入圆弧弯道时，若接头处 R R 例2
通常用三次抛物线y63,x∈10,x作为 缓冲段OA,其中l为O4的长度,验证缓冲段 OA在始端O的曲率 为零,并且当很小 R 工工工 <<1)时,在终端 R R 牛A的曲率近似为R l3A(x0,y0) 0 C(x0,0)X 上页
. 1 ( 1) , [0, ] 6 1 0 3 R A R l R l OA O OA l OA x x x Rl y 的曲率近似为 时，在终端 为零 并且当 很小 在始端 的曲率 缓冲段 ，其中 为 的长度，验证缓冲段 通常用三次抛物线 ， ．作为 = x y o R ( , ) 0 0 A x y ( ,0) 0 C x l