第八节无穷小的比较 无穷小的比较 巴二、等价无穷小替换 小结思考题
、无穷小的比较 例如,当x→0时,x,x2,sinx,x2sin都是无穷小 lim -=0 x2比3x要快得多 x→0 sX 观察各极限一 lim sinr =1 sinx与x大致相同; x→0x x2∴=imn不存在不可比 →0x 极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不 同. 上页 圆
一、无穷小的比较 例如, x x x 3 lim 2 →0 x x x sin lim →0 2 2 0 1 sin lim x x x x→ . 1 0 , , ,sin , sin 当 时 2 2 都是无穷小 x x → x x x x 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同. 3 ; x 2比 x要快得多 sin x与x大致相同; 不可比. = 0, = 1, x x 1 lim sin →0 = 不存在. 观 察 各 极 限
定义:设aB是同一过程中的两个无穷小,且α≠0 c(1)如果lm2=0就说β是比a高阶的无穷小 记作β=0(a) (2)如果im=C(≠0),就说B与α是同阶的无穷小; c 特殊地如果limp=1,则称B与α是等价的无穷小 c 记作α~β; (3)如果im=C(C≠0,k>0),就说是a的M阶的 a 无穷小 上页
( ); (1) lim 0, , = = 记作 o 如果 就说 是比 高阶的无穷小 定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且 0. (2) 如果lim = ( 0),就说与是同阶的无穷小; C C ~ ; lim 1, ; = 记作 特殊地 如果 则称 与 是等价的无穷小 . (3) lim ( 0, 0), 无穷小 如果 k C C k 就说是的k阶的 =
例1证明:当x→0时,4xtan3x为x的四阶无穷小 4x tanx 解im" =4li tan x = →0 故当x→>0时,4xtan3x为x的四阶无穷小 例2当x→0时,求tanx-sinx关于x的阶数 tanx- sin x 工工 解∵imn tanx1-cosx、1 x→)0 3 lim( x→0X 2 2 tanx-sinx为x的三阶无穷小 上页
例 1 解 : 0 ,4 tan . 证明 当x → 时 x 3 x为x的四阶无穷小 4 3 0 4 tan lim x x x x→ 3 0 ) tan 4lim ( x x x → = = 4 , 0 ,4 tan . 故当x → 时 x 3 x为x的四阶无穷小 例 2 当x → 0时,求tan x − sin x关于x的阶数. 解 3 0 tan sin lim xx x x − → ) tan 1 cos lim( 2 0 x x x x x − = → , 21 = tan x − sin x为x的三阶无穷小
平常用等价无穷小:当x→Q时, sinr, arcsinx tanxi, arctan - x, ln(1+x)~x,e^-1~x,1-c0sx~x2. 2 午用等价无穷小可给出函数的近似表达式 工工工 lim=1,∴lim 0-β c a=0,即a-β=0(a), A于是有a=β+0(a 例如,sinx=x+0(x),cosx=1-x2+0(x2) 2 上页
常用等价无穷小: 当x → 0时, 用等价无穷小可给出函数的近似表达式: lim = 1, lim = 0, − 即 − = o(), 于是有 = + o(). 例如, sin x = x + o(x), ( ). 2 1 cos 1 2 2 x = − x + o x . 2 1 ln(1 ) ~ , 1 ~ , 1 cos ~ tan ~ , arctan ~ , sin ~ , arcsin ~ , 2 x x e x x x x x x x x x x x x + − −
二、等价无穷小替换 定理(等价无穷小替换定理) 设a~a,B~且im,存在,则Iim2=lim B 证im=im ββ′a' c a Ol 工工 c lim.lim. lim -=lim c° 上页
二、等价无穷小替换 定理(等价无穷小替换定理) ~ , ~ lim , lim lim . = 设 且 存在 则 证 lim lim( ) = = lim lim lim lim . =
例3求lm an 2x x→01-cosx 王解当x→0时 ,I-cos t x', tan 2x 2 x。 2 原式=lim (2x)2 x201=8 2 2 牛注意不能滥用等价无穷小代换 对于代数和中各无穷小不能分别替换 上页
例3 . 1 cos tan 2 lim 2 0 x x x − 求 → 解 , tan2 ~ 2 . 2 1 0 , 1 cos ~ 2 当x → 时 − x x x x 2 2 0 2 1 (2 ) lim x x x→ 原式 = = 8. 不能滥用等价无穷小代换. 对于代数和中各无穷小不能分别替换. 注意
例4求lm tanx-sin x x→0sin2x 错解当x→>0时,tanx~x,sinx~x 原式×lim x-x 0 0(2x)3 解当x→0时,sin2x~2x, tanx-sin x= tan x(1-cos x)x 2 原式=im2= x→>0 (2x)316 上页
例4 . sin 2 tan sin lim 3 0 x x x x − 求 → 解 当x → 0时, tan x ~ x, sin x ~ x. 3 0 (2 ) lim x x x x − = 原式 → = 0. 解 当x → 0时, tan x − sin x = tan x(1− cos x) , 2 1 ~ 3 x sin2x ~ 2x, 3 3 0 (2 ) 2 1 lim x x x→ 原式 = . 16 1 = 错
tan 5x-cosx+1 王例5求 sin 3x H tanx=5x+o(x), sin 3x=3x +o(x), 1-c0sx=x2+0(x2) 2 5x+0(x)+x2+o(x 原式=lim 2 →0 3x+0(x) —+,xx2) 0(x 5+ 5 3+(x) 3 上页
例 5 . sin 3 tan 5 cos 1 lim0 x x x x − + → 求 解 tan x = 5 x + o(x), sin 3x = 3x + o(x), ( ). 21 1 cos 2 2 − x = x + o x3 ( ) ( ) 21 5 ( ) lim 2 2 0 x o x x o x x o x x + + + + = → 原式 x o x x o x x x o x x ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 5 lim 2 0 + + + + = → . 35 =
生三、小结 1无穷小的比较 反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度 快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶 2等价无穷小的替换: 牛求极限的又一种方法,注意适用条件 上页
三、小结 1.无穷小的比较: 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 2.等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶
