§6近似最佳一致逼 近多项式 由韦尔斯特拉斯定理知存在 最佳一致逼近多项式(伯恩斯坦多 项式) 一、截断切比雪夫级数 利用切比雪夫多项式良好的 逼近性质求近似最佳一致逼近多 项式 如果f(x)∈CL-11,按{(x) 展成广义富利叶级数,由正交多项 式展开公式 f(x)~∑a(x)→f(x)~∑C7 k=0
1 §6 近似最佳一致逼 近多项式 由韦尔斯特拉斯定理知存在 最佳一致逼近多项式（伯恩斯坦多 项式） 一、截断切比雪夫级数 利用切比雪夫多项式良好的 逼近性质求近似最佳一致逼近多 项式。 如果 f (x) C[−1,1] ，按 {T (x)} k 展成广义富利叶级数，由正交多项 式展开公式 0 0 ( ) ~ ( ) ( ) ~ ( ) k k k k k k f x a g x f x C T x = =
可得 f(x)~ 0+>CKTK(x) 2 此式称为函数f(x)在[-11上的切 比雪夫级数。 由 (k=0,1,…,n) 及 n≠n ,(x)Tm()dxI ,n=m≠0: ,n=m=0 得 到 ∫(x 1x2x(k=0…
2 可 得 f (x) ～ ( ). 2 * 1 * 0 C T x C k k k = + 此式称为函数 f (x) 在 [−1,1] 上的切 比雪夫级数。 由 * ( , ) ( 0, 1, , ) ( , ) k k k k f T C k n T T = = 及 1 1 2 0, ( ) ( ) , 0; 1 2 , 0. n m n m T x T x dx n m x n m − = = − = = 得 到 d ( 0,1, ). 1 2 ( ) ( ) 2 1 1 * = − = − x k x f x T x C k k
这里T(x)= cos(k arccos x,xs1 若令x=cos0,0≤0≤丌,则 f(x)~2+∑Cr( 就是f(co)的富利叶级数,其中 f(cos 0)coskedo (k=0, 1, . 根据富利叶级数理论可知,只要 f"(x)在[-1]上分段连续,则f(x)的 切比雪夫级数一致收敛于f(x),从 f(x)=-0+ 2 ∑CTk(x) 取它的部分和
3 这里 T (x) = cos(k arccos x), x 1 k 。 若令 x = cos , 0 ，则 f (x) ～ * 0 * 1 ( ) 2 k k k C C T x = + 就是 f (cos ) 的富利叶级数，其中 (cos ) cos d ( 0,1, ), 2 0 Ck * = f k k = 根据富利叶级数理论可知，只要 f (x) 在 [−1,1] 上分段连续，则 f (x) 的 切比雪夫级数一致收敛于 f (x) ，从 而 ( ), 2 ( ) * 1 * 0 C T x C f x k k k = = + 取它的部分和
其误差为 f(x)Cn(x)CnaTm(x) 由于Tn+有n+2个轮流为 正、负’的偏差点 kt X= cOS n+1 (k=01…,n+1),所以 f(x)-Cn(x)近似地有n+2个偏差 点,由切比雪夫定理,C"(x)可作为 f(x)在[-1,1上的近似最佳一致逼 近多项式,实际计算表明它与最佳 一致逼近多项式P(x)非常接近,而 计算较方便。 例:求f(x)=e在[-11上的切
4 ( ), 2 ( ) * 1 * * 0 C T x C C x k k n k n = = + 其误差为 * * 1 1 ( ) ( ) ( ). n n n f x C x C T x − + + 由 于 Tn+1 有 n + 2 个 轮 流 为 ‘ 正 、 负 ’ 的 偏 差 点 1 cos + = n k xk (k = 0,1, ,n +1) ，所以 ( ) ( ) * f x C x − n 近似地有 n + 2 个偏差 点，由切比雪夫定理， ( ) * C x n 可作为 f (x) 在 [−1,1] 上的近似最佳一致逼 近多项式，实际计算表明它与最佳 一致逼近多项式 ( ) * P x n 非常接近，而 计算较方便。 例: 求 x f (x) = e 在 [−1,1] 上的切
比雪夫展开。 解由富利叶级数系数公式得 cos k6 de 丌 0 它可用后面介绍的数值积分方法 计算,得到 Co=253213176,C1=1.13031821, C;=0.27149534, C3=0.04433685 C4=0.00547424, 0.00054293 由 C(x 2 ∑C7(x)及 k=1 7(x)的公式得到 C1(x)=1.266+1.130x, C(x)=0.994571+0997308x+0.542991x2+0.177
5 比雪夫展开。 解 由富利叶级数系数公式得 * cos 0 2 cos d C e k k = ， 它可用后面介绍的数值积分方法 计算，得到 2.53213176, 1.13031821, * 1 * C0 = C = 0.27149534, 0.04433685, * 3 * C2 = C = 0.00547424, 0.00054293. * 5 * C4 = C = 由 ( ), 2 ( ) * 1 * * 0 C T x C C x k k n k n = = + 及 T (x) k 的公式得到 ( ) 1.266 1.130 , * 1 C x = + x * 2 3 3 C x x x x ( ) 0.994571 0.997308 0.542991 0.177347 , = + + +
0.32 C(x)l1≈0007 当区间为[ab时可用变量置 换 6+a x t (-1≤t≤1) 求得近似最佳一致逼近 例如,求f(x)= actg x在[O,1 上的近似最佳一致逼近一次式,可 t+1 t+ t+1 令x=2,对 F(t)=f(~) acts tg -1≤t≤1,按切比雪夫系数求得 cos0+1 0 arct )db≈0.8542, 2 cos0+1 )cos6d6≈0.3947 丌 2
6 ( ) 0.32 * − 1 e C x x ， * 3 ( ) 0.00607. x e C x − 当区间为 [a,b] 时可用变量置 换 ( 1 1) 2 2 b a b a x t t − + = + − 求得近似最佳一致逼近. 例如，求 f (x) = arctg x 在 [0,1] 上的近似最佳一致逼近一次式，可 令 2 +1 = t x ，对 1 1 ( ) ( ) arctg 2 2 t t F t f + + = = ， −1 t 1 ，按切比雪夫系数求得 )d 0.8542, 2 cos 1 arctg( 2 0 0 + = a ) cos d 0.3947. 2 cos 1 arctg( 2 0 1 + = a
于是 C1(x)=a0+a1t=+a1(2x-1)≈0.0324+0.7894x max arct x 0<x≤1 i(x)=00366。 事实上∫(x)= arct x是奇函 数,当区间为[1,1时,它的切比 雪夫展开也是奇函数,如n=5可 求出 C;(x)=0.994949366x-0.287060636x3+0.078037176x arctgx-Cs(x)20.000677
7 于是 a x x a C x a a t (2 1) 0.0324 0.7894 2 2 1 ( ) 1 0 0 1 * 1 = + = + − + ， max arctg ( ) 0.0366 * 1 0 1 − = x C x x 。 事实上 f (x) = arctg x 是奇函 数，当区间为 [−1,1] 时，它的切比 雪夫展开也是奇函数，如 n = 5 可 求出 * 3 5 5 C x x x x ( ) 0.994949366 0.287060636 0.078037176 . = − + arctg − 5 ( ) 0.000677 x C x
与最佳逼近的误差分布近似(通过 计算最佳逼近偏差E≈00008)。这 说明用切比雪夫展开部分和C(x) 逼近∫(x)的效果相当好。若用台劳 展开 arct x=x-x/3+x 要 使误差不超过103/2就必须取 1000 项 因为欲使 1/(2n+1)<1/2000,只有当 n21000时才成立。 用切比雪夫展开还可得到其他 基本初等函数的近似最佳逼近多 项式 二、拉格朗日插值余项的极小 化
8 与最佳逼近的误差分布近似(通过 计算最佳逼近偏差 5 E 0.000608 )。这 说明用切比雪夫展开部分和 ( ) * C x n 逼近 f (x) 的效果相当好。若用台劳 展开 arctg x = x − x 3 / 3+ x 5 / 5 − ，要 使误差不超过 10 / 2 −3 就必须取 1000 项，因为欲使 1/(2n +1) 1/ 2000 ， 只 有 当 n 1000 时才成立。 用切比雪夫展开还可得到其他 基本初等函数的近似最佳逼近多 项式。 二、拉格朗日插值余项的极小 化
基本思想:以切比雪夫多项式 的零点为节点构造函数(x) 的插值多项式,作为其最佳一致逼 近多项式的近似。 由切比雪夫多项式性质2可知, 若以 2k-1 k cos 丌(k=1,2,…,n) 2n 为插值节点作n-1次插值多项式, O(X x-x1)…(x-x x 与零的偏差最小,此时插值余项 R(x)=f(x)-1n-1(x)= f(m() O,(x)
9 基本思想：以切比雪夫多项式 的零点为节点构造函数 f x( ) 的插值多项式，作为其最佳一致逼 近多项式的近似。 由切比雪夫多项式性质 2可知， 若以 ( 1,2, , ) 2 2 1 cos k n n k xk = − = 为插值节点作 n-1 次插值多项式， 则 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 n n n n x x x x x T x − = − − = 与零的偏差最小，此时插值余项 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! n n n f R x f x L x x n = − = −
maxf(x)-Ln-I(x)- max o, (x) 1 M 2 其中Mn=max (n) (9 如果插值区间是[a,b,不是 [-11,可做变换,令 b a+b t 2 2 使t在[1,1上变化,于是 b-a a+b 0,(x)=0, n b 它的最高项系数为2,故有
10 max ( ) ! max ( ) ( ) 1 1 1 1 1 x n M f x L x n x n n x − − − − , 2 ! 1 1 n Mn n− 其中 ( ) 1 1 max ( ) n M f n − = 。 如果插值区间是 [a,b] ，不是 [−1,1] ，可做变换，令 2 2 b a a b x t − + = + 使 t 在 [−1,1] 上变化，于是 * ( ) ( ). 2 2 n n n b a a b x t t − + = + = 它的最高项系数为 2 n b a − ，故有