第三章.矩阵特征值和特征向量计算 工程实践中有多种振动问题,如桥梁或建筑物的振 动,机械杋件、飞机机翼的振动,及一些稳定性分析和 相关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题 1已知A=(an)m求代数方程0(4)=det(-A)=0 的根。φ()称为的特征多项式,一般有n个零点,称 为的特征值。 2设为的特征值,求相应的齐次方程(4I-A)x=0 的非零解(即求Ax=λx的非零解),x称为矩阵A对应 于的特征向量。 但高次多项式求根精度低,一般不作为求解方法 目前的方法是针对矩阵不同的特点给出不同的有效方法
第三章. 矩阵特征值和特征向量计算 但高次多项式求根精度低 , 一般不作为求解方法. 目前的方法是针对矩阵不同的特点给出不同的有效方法. 工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振 动，机械机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和 相关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。 1. ( ) , ( ) det( ) 0 ( ) 2. ( ) 0 A a I A ij n n A n A A I A x Ax x x A = = − = − = = 已知 求代数方程 的根。 称为 的特征多项式，一般有 个零点，称 为 的特征值。 设 为 的特征值，求相应的齐次方程 的非零解（即求 的非零解）， 称为矩阵 对应 于 的特征向量
§1.幂法和反幂法 幂法 求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。它 是通过迭代产生向量序列,由此计算特征值和特征向量。 设nxm阶介实矩阵的特征值(=1,2…,m)满足||>2|≥ ≥12且与(=1,2…,m)相应的特征向量a4,l2…,u线性无关 给定初始向量x≠O,由迭代公式x)=Ax(6(k=1,2,…)产 生向量序列(x"),可以证明,当充分大时,有不≈x“1x0 相应的特征向量为xk+1 为简便,不妨设‖=1(=1,2…,m)因为线性无关,故 必存在n个不全为零的数a(=1,2,…,m)使得x=2an
§1. 幂法和反幂法. 一、幂法 求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。它 是通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特征向量。 1 2 1 2 (0) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) 1 ( 1) ( 1,2, , ) ( 1,2, , ) , , , , ( 1,2, ) , / , 1( 1,2 i n i n k k k k k i i k i n n A i n i n u u u x x Ax k x k x x x u i + + = = = = = = ＋ 设 阶实矩阵 的特征值 满足 且与 相应的特征向量 线性无关。 给定初始向量 由迭代公式 产 生向量序列 可以证明，当 充分大时，有 相应的特征向量为 。 为简便，不妨设 (0) 1 , , ) ( 1,2, , ), i n i i i i n u n i n x u = = = 。因为 线性无关，故 必存在 个不全为零的数 使得
由x61)=Ax)=A+x=∑4(au1)=∑a14lt (At=元.Au=AA.·A=A.Al n'u (k+1) A+[a11+()a2l2+…+( 设a1≠0由A2|>(=2,3,…,n)得im()au=0 li k+1 m k→o 故只要k充分大,就有x=A[a+∑ a]≈2k+1 1l 因此,可把x)作为与相应的特征向量的近似 (k+1) 由 (k+1) a,u,. x nka x)为x)的第个分量
( 1) ( ) 1 (0) 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ) , ) [ ( ) ( ) ] 0, ( 2,3, , ) lim( ) lim n n k k k k k i i i i i i i k k k k k k n n n i k i i i k k x Ax A x A u u Au u A u AA Au A Au u x u u u i n u + + + + = = + + + + + → = = = = = = = = = = + + + = = 由 （ 设 由 得 1 2 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] , ( 1,2, ) n i k i i i n k k k k i i i i k k k k k k i k i k k i u k x u u u x x x u x u i n x x x i + → = + + + + = + + + + = = + = 故只要 充分大，就有 因此，可把 作为与 相应的特征向量的近似。 由 为 的第 个分量
按上面式子计算矩阵A按模最大的特征值与相应的 特征向量的方法称为幂法。幂法的收敛速度依赖于比值 ,比值越小,收敛越快。 两点说明: 1)如果x的选取恰恰使得∝1=0,幂法计算仍能进行 因为计算过程中舍入误差的影响,迭代若干次后,必然 会产生一个向量x4),它在1方向上的分量不为零,这样 以后的计算就满足所设条件 2)因x6)=ax,计算过程中可能会出现溢出(4>1) 或成为0(<1)的情形。解决方法:每次迭代所求的向量 都要归一化。因此,幂法实际使用的计算公式是
2 1 (0) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 0, , 2 k k k A x x u x = = 按上面式子计算矩阵 按模最大的特征值与相应的 特征向量的方法称为幂法。幂法的收敛速度依赖于比值 ，比值越小，收敛越快。 两点说明： ）如果 的选取恰恰使得 幂法计算仍能进行。 因为计算过程中舍入误差的影响，迭代若干次后，必然 会产生一个向量 它在 方向上的分量不为零，这样， 以后的计算就满足所设条件。 ）因 1 1 1 , ( 1) 0( 1) u 计算过程中可能会出现溢出 或成为 的情形。解决方法：每次迭代所求的向量 都要归一化。因此，幂法实际使用的计算公式是
(k)/(k) (k) max/r(k) (k=0,1,2,…) k<<n (+)=Ay() ≈x(+) 算法 1.输入A=(a)初始向量x=(x1…x误差限,最大迭代次数N 2置k=1,=0 3求整数,使x|=mx,x→a 4计算y=-x=4y置x→λ 5若2-(<6输出λx,停机;否则,转6 6若k<N,置k+1→k,→,转3;否则,输出失败信息,停机
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) ( ) ( 1) 1 max ( 0,1,2, ) k k k k k r r i i n k k k r y x x x x k x Ay x + + = = = = ／ 1 1 1. ( ), ( , , ), 2 . 1, 0 3. max 4. 5. , , , 6 6. , 1 , , 3 ij n r i r i n r A a x x x N k r x x x x y x Ay x x k N k k = = = = = = = − + 算法： 输入 初始向量 误差限 ，最大迭代次数 。 置 求整数 ，使 ， 计算 置 若 输出 停机；否则，转 若 置 转 ；否则，输出失败信息，停机
2-10 例:用幂法求矩阵A=02-1的按模 0-12 最大的特征值和相应的特征向量 取x0)=(0,0,1),E≤103 解:y10=x)=(0,0,1), 0)=(0,-1,2),O=2, 2a(O,-0.5,1) x2)=Ay)=(0.5,-2,2.5),O=2.5
(0) 3 (0) (0) (1) (0) (1) (1) (2) (1) 2 1 0 0 2 1 0 1 2 (0,0,1) , 10 . (0,0,1) , (0, 1, 2) , 2, (0, 0.5,1) , (0.5, 2, 2.5) , T T T T T A x y x x Ay x y x Ay − − = − − = = = = = − = = = − = = − = 例：用幂法求矩阵 的按模 最大的特征值和相应的特征向量。 取 解： 2.5
(2.7650948,-2.9981848,2.9990924) 0=2.9990924 y=(0.9219772,-0.9996973,1) 由29996973-2.9990924=0.0006049<10 9)=Ay8)=(28436517-299996,2.9996973 故λ1≈2.996973.相应特征向量为 ≈(28436517,-2.993946,2.9996973)。 事实上,硇的特征值A=3,2=2,A3=, 与4对应的特征向量为(1,-1,1 此例中比值为=2 3
(8) (7) (8) (9) (8) 3 1 (2.7650948, 2.9981848, 2.9990924) 2.9990924 (0.9219772, 0.9996973,1) (2.8436517, 2.9993946, 2.9996973). 2.9996973 2.9990924 0.0006049 10 . 2.9996973. x Ay y x Ay − = = − = = − = = − − = 由 故 相应特 1 2 3 1 2 1 (2.8436517, 2.9993946, 2.9996973) 3, 2, 1 1 -1,1 2 . 3 T u A − = = = = 征向量为 。 事实上， 的特征值 ， 与 对应的特征向量为（， ）。 此例中比值为
两种特殊情况 前面假定λ>λ2|如果按模最大的特征值有多 即4=2|=…=2m>14m|≥…≥ 幂法是否有效? (1)41是m重根,即=2=…=n,矩阵A仍有n个 线性无关的特征向量。此时有 x(+1)=4+[a1u1+…+anun m+1、k+1 k+1 入1 m+1llm+1+…… 显然,只要12…,cn不全为零,当k充分大时,就有 x(+1)≈A+(ax1l4+…+ al.u)
两种特殊情况 1 2 1 2 1 1 1 2 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 , [ ( ) ( ) ] m m n m k k m m m n k k m m n n m A n x u u u u + + + + + + + + = = = = = = = + + + + + 前面假定 如果按模最大的特征值有多个， 即 幂法是否有效？ （ ） 是 重根，即 矩阵 仍有 个 线性无关的特征向量。此时有 显然 1 ( 1) 1 1 1 1 , , ( ) m k k m m k x u u + + + + ，只要 不全为零，当 充分大时，就有
arl4+…+anln,是矩阵4相应于λ的特征向量 Aa u 11=1a11,Aax2l2=12a2 m mm →A(al1+a122+…+anun)=1a14+2a22+…+2nnln 1(a11+a2l2+…+Onln) 因a1l4+…+αnun也是矩阵A相应于λ的特征向量,故有 (k+1) 1=1 1.≈ 为相应的特征向量,即对这种情况幂法仍然有效
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 12 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 , , , , ( ) ( ) m m m m m m m m m m m m m m m m u u A A u u A u u A u u A u u u u u u u u u u u A + + = = = + + + = + + + = + + + + + 也是矩阵 相应于 的特征向量 因 也是矩阵 相应于 的特征向量，故有 ( 1) 1 2 ( ) ( 1) k i m k i k x x x + + = = = 为相应的特征向量，即对这种情况幂法仍然有效
2)A1=-212|>23,且矩阵有n个线性无关的特征向量。 x+)=24a14+(-1)a2l2+(a342+…+()ann 由上式可知x是个摆动序列,当k充分大时,有 x(2k-)≈2-(a1l4-a2l2)x(2)≈(ax14+a2l2) (k+2) 2≈±x(k+2)/、(k 又由x6+1)≈[a1l4+(-1)+a12 x()≈x[ax1+(-1a2l2 (k+1) (k) 2 +1 +Mx x+)-1x(6)≈24+(-1)+1a2l2 故在这种情况下,仍可按幂法产生向量序列
1 2 1 3 ( 1) 1 1 1 1 3 1 1 1 2 2 3 3 1 1 ( 1) (2 1) 2 1 (2 ) 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 ( 2) 2 ( 1 1,2 ( ) 2 , , [ ( 1) ( ) ( ) ] ( ) ( ) k k k k k n n n k k k k k k k i k i i A n x u u u u x k x u u x u u x x x + + + + + + − − + = − = + − + + + − + （ ） 且矩阵 有 个线性无关的特征向量。 由上式可知， 是个摆动序列，当 充分大时，有 2) ( ) ( 1) 1 1 1 1 1 2 2 ( ) 1 1 1 2 2 ( 1) ( ) 1 1 1 1 1 ( 1) ( ) 1 1 1 1 2 2 / [ ( 1) ] [ ( 1) ] 2 2 ( 1) k i k k k k k k k k k k k k k x x u u x u u x x u x x u + + + + + + + + + + − + − + − − 又由 故在这种情况下，仍可按幂法产生向量序列