概念第1章插值 实际中,f(x)多样,复杂,通常只能观测到一些离散数据; 或者(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来 逼近f(x)。 自然地,希望g(x)通过所有的离散点 g(x)≈f(x)
第1章 插 值 实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据； 或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来 逼近f(x)。 自然地，希望g(x)通过所有的离散点 概念 x0 x1 x2 x x3 x4 g(x) f(x)
定义:/(x)为定义在区间1上的函数{x}区间上n+1个互不 相同的点,①为给定的某一函数类。求上的函数g(x)满足 8(x1)=f(x),i=0,…,n 问题 是否存在唯 如何构造 误差估计
定义： 为定义在区间 上的函数， 为区间上n+1个互不 相同的点， 为给定的某一函数类。求 上的函数 满足 f (x) a,b 0 n i i x = g(x) g(xi ) = f (xi ) , i = 0, ,n 问题 是否存在唯一 如何构造 误差估计
设g(x)=a090(x)+…+ann(x)则 g(i)=f(=ao(xi)+.+ann(i) 05 有解<>系数行列式不为0 特点: 1.与基函数无关 2.与原函数f(X)无关 3.基函数个数与点个数相同
( ) = = + + = + + , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 n i i i n n i n n a a g x f x a x a x g x a x a x 有解 系数行列式不为0 设 则 1. 与基函数无关 2. 与原函数f(x)无关 3. 基函数个数与点个数相同 特点：
存在唯一定理 定理11x}0为n+1个节点,①=m(,9,…n} n+1维空间,则插值函数存在唯一,当且仅当 %(xn)…9,(x ≠0 P(rn) n
存在唯一定理 定理1.1 ： 为n＋1个节点， n+1维空间，则插值函数存在唯一，当且仅当 0 n i i x = = span{0 ,1 , n } 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 n n n n x x x x
对应于Φ=P"(x)=spm{,x,x2,…x"} 则 0 =x-x≠0 0≤j<i≤n Vandermonde行列式
( ) {1, , , } n 2 n 对应于 = x = span x x x 则 0 1 1 0 0 = − jin i j n n n x x x x Vandermonde行列式
多项式插值的 Lagrange型 如何找? 在基函数上下功夫,取基函数为{(x)}0<P O,≠J 要求(x)=0=1,i=j 则g(x)=∑l1(x)f(x)
多项式插值的Lagrange型 如何找？ 在基函数上下功夫，取基函数为 n n i x i {l ( )} =0 要求 = = = i j i j l i xj i j 1, 0, ( ) 则 ( ) ( ) ( ) 0 i n i i g x l x f x = =
求{(x)}。,易知: l1(x)=c2(x-x0)…(x-x1)(x-x1+1)……(x-xn) )(x1-x1+1)…(x1-xn) ■线性插值 X-X X-X 70(x)= 0一 X-X L(x)=f(x0)(x)+f(x)1(x)
线性插值 1 0 0 1 0 1 1 0 ( ) , ( ) x x x x l x x x x x l x − − = − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 1 L x = f x l x + f x l x 求 n i x i l 0 { ( )} = ，易知： ( ) ( ) ( )( ) ( ) i x ai x x0 x xi 1 x xi 1 x xn l = − − − − + − ( ) ( )( ) ( ) 1 i 0 i i 1 i i 1 i n i x x x x x x x x a − − − − = − +
■二次插值 (x-x1)(x-x2) 0 X (x-x1)(x-x2) (x-x0)(x-x2) X (x1-x0)(x1-x2) X-x 2(x) 0(x x (x2-x0(x2-x1) L2(x)=f(x)(x)+f(x)1(x)+f(x2)2(x)
二次插值 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 0 2 1 0 1 2 1 0 1 2 0 2 1 0 1 0 2 1 2 0 x x x x x x x x l x x x x x x x x x l x x x x x x x x x l x − − − − = − − − − = − − − − = 2 0 0 1 1 2 2 L x f x l x f x l x f x l x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + +
例:(一1,2),(0,0),(2,1),(3,3) (x) (x-0(x-2)x-3) (x) (x+1)x-2)(x-3) (-1-0)(-1-2)(-1-3) (0+1)(0-2)0-3) l2(x) (x+1)(x-0)(x-3) (2+1)(2-0)(2-3) 1(x)=(x+1)(x-0(x-2) (3+1)(3-0)(3-2) g(x)=210(x)+01(x)+12(x)+33(x) 例:已知s=2,4=23 =2 分别利用sinx的次、2次 Lagrange插值计算sin50° 并估计误差
例： (−1,2),(0,0),(2,1),(3,3) ( 1 0)( 1 2)( 1 3) ( 0)( 2)( 3) ( ) 0 − − − − − − − − − = x x x l x (3 1)(3 0)(3 2) ( 1)( 0)( 2) ( ) 3 + − − + − − = x x x l x (2 1)(2 0)(2 3) ( 1)( 0)( 3) ( ) 2 + − − + − − = x x x l x (0 1)(0 2)(0 3) ( 1)( 2)( 3) ( ) 1 + − − + − − = x x x l x ( ) 2 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 0 1 2 3 g x = l x + l x + l x + l x 例：已知 2 3 3 , sin 2 1 4 , sin 2 1 6 sin = = = 分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50 并估计误差
8 1 Lagrange Polynomial 5兀 50 18 解:n=1分别利用xnx1以及x1,x2计算 利用x=,x1=x L1(x) =x-7/4 6 元 /×1+x-7/6 2丌/4-x/6"√2 內插通常优于外推。选择 r(5)=-sin:,5;∈(, 要计算的x所在的区间的 端点,插值效果较好。 sin50°=0.7660444.. 外推/ extrapolation*的 号差≈-0.01001 利用=5,x=:50m03(倍 18/-0.00660 内插/ interpolation*的实际误差≈0.00596
§1 Lagrange Polynomial 解： 0 x 1 x x2 18 5 500 = n = 1 分别利用x0 , x1 以及 x1 , x2 计算 4 , 6 0 1 利用 x = x = 2 1 / 4 / 6 / 6 2 1 / 6 / 4 / 4 ( ) 1 − − + − − = x x L x 这里 ) 3 , 6 ( ) sin , ( ) sin , ( (2) f x = x f x = − x x 而 ) 4 )( 6 ( 2 ! ( ) , ( ) 2 3 sin 2 1 (2) 1 = x − x − f R x x x ) 0.00762 18 5 0.01319 ( − 1 − R sin 50 = 0.7660444… ) 18 5 sin 50 (1 0 L 0.77614 外推 /* extrapolation */ 的实际误差 −0.01001 3 , 4 1 2 利用 x = x = sin 50 0.76008, 0.00660 18 ~ 5 0.00538 1 R 内插 /* interpolation */ 的实际误差 0.00596 内插通常优于外推。选择 要计算的 x 所在的区间的 端点，插值效果较好