第二章数值微分和数值积分
第二章 数值微分和数值积分
数值微分 1.函数f(x)以离散点列给出时,而要求我 们给出导数值, 2.函数f(x)过于复杂 这两种情况都要求我们用数值的方法求函数的导数值 微积分中,关于导数的定义如下 f∫(x+h)-f(x f(x)=lim =lim/(+)-f(x-h h). f(x+h-f(x-h hi h h→0 h h→0 2h 自然,而又简单的方法就是,取极限的近似值,即差商
数值微分 h f x h f x h h f x f x h h f x h f x f x h h h 2 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) '( ) lim 0 0 0 + − − = − − = + − = → → → 1. 函数f(x)以离散点列给出时，而要求我 们给出导数值， 2. 函数f(x)过于复杂 这两种情况都要求我们用数值的方法求函数的导数值 微积分中，关于导数的定义如下： 自然，而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商
向前差商 ∫(x)≈ f(o+h)f(x h 由 Taylor展开 h2 f(x0+h)=f(x0)+hf(x)+f"(5)x≤5≤x0+h 因此,有误差 R(x)=f(xo) f(o+)-f(o h =-f"()=O(h) h
h f x h f x f x ( ) ( ) '( ) 0 0 0 + − 由Taylor展开 f x x h h f x + h = f x + hf x + 0 0 + 2 0 0 0 ''( ), 2! ( ) ( ) '( ) 因此，有误差 ''( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) '( ) 0 0 0 f O h h h f x h f x R x f x = − = + − = − 向前差商
向后差商 ∫"(x)≈ f(xo-f(o-h h 由 Taylor,展开 h f(x。-h)=f(x0)-(x0)+f"(5,x≤5≤x+h 2 因此,有误差 R(x)=/(x)-(x)-/(x-b)h f"'(2)=O(h) h
h f x f x h f x ( ) ( ) '( ) 0 0 0 − − 由Taylor展开 f x x h h f x − h = f x − hf x + 0 0 + 2 0 0 0 ''( ), 2! ( ) ( ) '( ) 因此，有误差 ''( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) '( ) 0 0 0 f O h h h f x f x h R x f x = = − − = − 向后差商
中心差商 f(o1(xo+ h)-f(x0-h) ch 由 Taylor展开 f(x0+h)=f(x0)+hf(x0)+,f"(x0)+f"()x0≤5≤x+h 2! f(x0-h)=f(x0)-hf(x)+f"(x)-f"(2),x-h≤2≤x0 3 因此,有误差 f(+h)-f(o-h R(x)=f(xo) ch [f"(1)+f"(2)=f"()=Oh2) 12 6
h f x h f x h f x 2 ( ) ( ) '( ) 0 0 0 + − − 由Taylor展开 2 3 0 0 0 0 1 0 1 0 2 3 0 0 0 0 2 0 2 0 ( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ), 2! 3! ( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ), 2! 3! h h f x h f x hf x f x f x x h h h f x h f x hf x f x f x h x + = + + + + − = − + − − 因此，有误差 '''( ) ( ) 6 [ '''( ) '''( )] 12 2 ( ) ( ) ( ) '( ) 2 2 1 2 2 0 0 0 f O h h f f h h f x h f x h R x f x = + = = + − − = − 中心差商
由误差表达式,h越小,误差越小,但同时舍入误差增大,所以,有个最佳步长 我们可以用事后误差估计的方法来确定 设D(h),D(h/2)分别为步长为h,h2的差商公式。则 h D(h)-D()<E 时的步长h2就是合适的步长 f(x)-D(h)=o(h) f(x)-d(h) O(h) 2 f(x)-D(h/2)=O(h/2)f(x)-D(h/2)O(h/2) f(x)-D(h)=2f(x)-2D(h/2) f(x)-D(h/2)=D(h)-D(h/2)
由误差表达式，h越小，误差越小，但同时舍入误差增大，所以，有个最佳步长 我们可以用事后误差估计的方法来确定 设D(h),D(h/2)分别为步长为h,h/2的差商公式。则 − ) 2 ( ) ( h D h D 时的步长h/2就是合适的步长 '( ) ( ) ( ) '( ) ( / 2) ( / 2) f x D h O h f x D h O h − = − = '( ) ( ) ( ) 2 '( ) ( / 2) ( / 2) f x D h O h f x D h O h − = − f x D h f x D h '( ) ( ) 2 '( ) 2 ( / 2) − = − f x D h D h D h '( ) ( / 2) ( ) ( / 2) − = −
例: fl=exp(x) f.15R(x) f'(1.15)R(x 0.103.1630-0.00480.053.1590-00008 0.09 3.1622 0.00400.043.1588-0.0006 0083.161300010.03315830.001 0.0731607-0025002315750007 0.06 31600-0.0018001315500.002
f(x)=exp(x) h f’(1.15) R(x) h f’(1.15) R(x) 0.10 3.1630 -0.0048 0.05 3.1590 -0.0008 0.09 3.1622 -0.0040 0.04 3.1588 -0.0006 0.08 3.1613 -0.0031 0.03 3.1583 -0.0001 0.07 3.1607 -0.0025 0.02 3.1575 -0.0007 0.06 3.1600 -0.0018 0.01 3.1550 -0.0032 例：
插值型数值微分 插值是建立逼近函数的手段,用以研究原函数的性质。因此,可以用插值 函数的导数近似为原函数的导数 (k) (k f(x)≈Ln(x) 误差 R,(x) fm(2) On,(x)=f(x-L(x) n+ k R(= dk f(s) k a, (x) dx (n+1)!
插值是建立逼近函数的手段，用以研究原函数的性质。因此，可以用插值 函数的导数近似为原函数的导数 ( ) ( ) ( ) ( ) f x L x k n k 误差 ( ) ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( 1) x f x L x n f R x n n n n = − + = + + = + ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( 1) ( ) x n f dx d R x n n k k k n 插值型数值微分
例: 给定点列{x,f(x)}2。且x2-x1=x1-x0=h,求 f(x2),f(x1),(x0) 解: (x-x1)(x-x2) f(x0)+ (x-x0(x-x2) x-Mox-X f(x1)+ f(x2) 2h h 2h 2(x) (x-x1+x-x2) 2h2 f(x0)+ (x-x0+x-x2) h f(x)+ (x-x0+x-x1) f(x2 ch
给定点列 2 0 ( , ( )) i i i = x f x 且 x 2 − x 1 = x 1 − x 0 = h ，求 '( ), '( ), '( ) 2 1 0 f x f x f x 解： ( ) 2 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ( )( ) ( ) 2 2 0 1 2 1 0 2 2 0 1 2 2 f x h x x x x f x h x x x x f x h x x x x L x − − + − − − + − − = ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ' ( ) 2 2 0 1 2 1 0 2 2 0 1 2 2 f x h x x x x f x h x x x x f x h x x x x L x − + − + − − + − + − + − = 例：
f(x)≈L2(x)=n(-3f(x)+4f(x)-f(x2)+f"(5) f(x)≈L2(x1)=1(-f(x)+f(x2)-2f"() h f(x2)≈L2(x2) ch (f(x)-4f(x1)+3f(x2)+f"5) h2 f"x)≈L"2(x)=2(f(x)-2f(x)+f(x2)+[-f"(5)+f4(2) f"(x)≈L"1(x2)=((x)-2f(x)+f(x2) f4(2) 12 r%3)2(3)=((x)2(+(3)+75)6广“(5 Taylor)展开分析,可以知道,它们都是O(h2)称为三点公式
( ) 2 0 2 0 0 1 2 1 '( ) ' ( ) 3 ( ) 4 ( ) ( ) '''( ) 2 3 h f x L x f x f x f x f h = − + − + ( ) 2 1 2 1 0 2 1 '( ) ' ( ) ( ) ( ) '''( ) 2 6 h f x L x f x f x f h = − + − ( ) 2 2 2 2 0 1 2 1 '( ) ' ( ) ( ) 4 ( ) 3 ( ) '''( ) 2 3 h f x L x f x f x f x f h = − + + Taylor展开分析，可以知道，它们都是 ( ) 2 O h 称为三点公式 ( ) 2 (4) 0 2 0 0 1 2 1 2 2 1 ''( ) '' ( ) ( ) 2 ( ) ( ) [ '''( ) ( )] 6 h f x L x f x f x f x hf f h = − + + − + ( ) 2 (4) 1 1 2 0 1 2 2 1 ''( ) '' ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 12 h f x L x f x f x f x f h = − + − ( ) 2 (4) 2 2 2 0 1 2 1 2 2 1 ''( ) '' ( ) ( ) 2 ( ) ( ) [ '''( ) ( )] 6 h f x L x f x f x f x hf f h = − + + −