第一章.解线性代数方程组的直接方法 §1引言 n阶线性方程组: aux+,+taux=b aix+aox+tax=b anxi+,++amxn=b 矩阵表示记为AX=b 这里an,x=(x,…,xn)b=(b1,…,bn)
第一章. 解线性代数方程组的直接方法 §1.引言 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 阶线性方程组： [ ] , X , 1 1 T ij n n AX b T A n n a b (x (b , , ) , , ) x b = = = = 矩阵表示记为 这里
如果线性方程组的系数行列式不为零,即det(4)≠0, 则该方程组有唯一解。由克莱姆( cramer)法则,其解为 det(A (i=1,2,…,n det(a 这种方法需要计算n+1个m阶行列式并作n次除法,而每个 n阶行列式计算需作(n-1)×n次乘法,计算量十分惊人 如n=30,需2.38×103次乘法。可见其在理论上是绝对正确, 但在n较大时,在实际计算中确实不可行的 解线性方程组的两类方法 直接法:经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不 计舍入误差!) 迭代法:从解的某个近似值出发,通过构造一个无穷序列 去逼近精确解的方法。(一般有限步內得不到精确解
35 det( ) 0, det( ) ( 1,2, , ) det( ) 1 ( 1) ! 30, 2.38 10 i i A A x i n A n n n n n n n n = = + − = 如果线性方程组的系数行列式不为零，即 则该方程组有唯一解。由克莱姆(cramer)法则，其解为 这种方法需要计算 个 阶行列式并作 次除法，而每个 阶行列式计算需作 次乘法，计算量十分惊人。 如 需 次乘法。可见其在理论上是绝对正确， 但在 较大时，在实际计算中确实不可行的。 解线性方程组的两类方法： 直接法: 经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不 计舍入误差!) 迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列 去逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解）
§2. Gauss消去法 auxtaux b 对价线性方程组:{42xa2x2+…+a2xn=b2 +aLn2x2+…+amxn=b 转化为等价的(同解)的三角形方程组 b1x1+b2X2+…+ binx=g 62mxn g bmxm=g 称消元过程。逐次计算出xn,x2,x称回代过程
§2. Gauss 消去法 11 1 12 2 1 1 22 2 2 2 n n n n nn n n b x b x b x g b x b x g b x g + + + + + = = = 转化为等价的（同解）的三角形方程组。 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 对 阶线性方程组： 1 1 , , , n n x x x 称消元过程。逐次计算出 称回代过程。 −
Gauss消去法计算过程 统记号:an→am,b→b 原方程AX=bA"=lamb"=(b1,…bn) 若a≠0 (第二行)-(第行)×a2/lm1→(新第一行) (第行)-(第行)×a3/a}/→(新第行) (第n行)-(第一行)×am/am→(新第n行 相当于第个方程第一个方程×数→新的第方 程同解!第一方程不动
→ 1 → 1 a a , b b ( ) i i ( ) 统一记号： ij ij 1 1 1 1 1 1 1 1 T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ij ( ) ( ) X : [ ] , n A A b a b ( , , ) b b 原方程 = = = ( ) → ( ) ≠0 : 1 11 1 21 (1) 11 第二行 （第一行） 新第二行 若 a a a ( ) ( ) − ( ) ( ) → ( ) 1 11 1 第三行 − 第一行 a ( 31 ) a ( ) 新第三行 n a a ( n ) ( ) ( ) (第 行) （第一行） n → 新第 行 1 1 1 1 − 1 相当于第i个方程-第一个方程×数→新的第i方 程—同解！第一方程不动！ 一、Gauss 消去法计算过程
上述消元过程除第一个方程不变以外, 第2—第n个方程全消去了变量x1而系数 和常数项全得到新值 a1x1+a12x2+a13x3+……+anxn=b (2) a2x2+a23x3+…+a2xn=b2 (2) (2) (2) C32x2+a3X3+…+3nXn b (2) ●·●番 (2) (2) (2) (2) an2x2tan3x3+tammy b
上述消元过程除第一个方程不变以外, 第2—第 n 个方程全消去了变量 1，而系数 和常数项全得到新值： (1) (1) (1) (1) (1) 11 1 12 2 13 3 1 1 (2) (2) (2) (2) 22 2 23 3 2 2 (2) (2) (2) (2) 32 2 33 3 3 3 (2) (2) 2 2 3 3 n n n n n n n n a x a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b a x a x + + + + = + + + = + + + = + + (2) (2) a x b nn n n + =
得到新同解方程组:Ax=b In 0 bb 其中A2 2n b 0 (2) b 这里an=am- nidu n=am/a b,=b-b1mni2j=2.3,…,n
2 2 A x = b （ ） （ ） 得到新同解方程组： b b b b a a a a a a a A ( ) n ( ) ( ) ( ) nn ( ) n ( ) n ( ) ( ) n ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 (2) 2 2 2 2 2 2 22 1 1 1 12 1 11 2 0 0 其中 = ， = a a m a m a a ( ) ( ) i i ( ) i j ( ) i j ( ) i j 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 这里 = − = 2 1 1 1 1 , 2 3 ( ) ( ) ( ) i i i , , ,n b b b m = − = i j
第二步消元:若a2≠0,对除第一行第一列外 的子阵作计算 C 12 13 0a2.a23 2n A3=00 b (3) bbb 00 b 2) 12 b,=b1-b2m12i,j=3
(2) 22 第二步消元： 若 ，对除第一行第一列外 0 a 的子阵作计算： 0 0 0 0 0 3 3 3 2 2 1 1 (3) 3 3 3 3 3 3 33 2 2 2 23 2 22 1 1 1 13 1 12 1 11 3 b b b b b a a a a a a a a a a a A ( ) n ( ) ( ) ( ) ( ) nn ( ) n ( ) n ( ) ( ) n ( ) ( ) ( ) n ( ) ( ) ( ) ( ) = ， = aij aij m a j m ai a (2) 22 (2) i2 2 (2) i2 2 (3) (2) = − = 3 2 2 2 2 , 3 4 ( ) ( ) ( ) i i i , , ,n b b b m = − = i j
得到同解方程组A3)x=b(3) b (1) au xIta1252ta13x3 a2x2+a2x3+…+a2=b2 a3x3+…+a3=b3 an2x3+…+amn=bn 若a3≠0,则此消去过程可依次进行下去
A x b (3) (3) 得到同解方程组 = (1) (1) (1) (1) (1) 11 1 12 2 13 3 1 1 (2) (2) (2) (2) 22 2 23 3 2 2 (3) (3) (3) 33 3 3 3 ( 3 3 n n n n a x a x a x a b a x a x a b a x a b + + + + = + + + = + + = ) (3) (3) a x a b 3 nn n + + = 若 a ( 3 3 3) ≠0， 则此消去过程可依次进行下去
第n-1步消去过程后,得到等价三角方程组 Ax=b aux+aux+aux++aux=b C22X2+c23X3 u2 b (3) a33x arnim=b amx=b
( ) ( ) 1 n n n A x b − = 第 步消去过程后，得到等价三角方程组。 (1) (1) (1) (1) (1) 11 1 12 2 13 3 1 1 (2) (2) (2) (2) 22 2 23 3 2 2 (3) (3) (3) 33 3 3 3 n n n n n n a x a x a x a x b a x a x a x b a x a x b + + + + = + + + = + + = ( ) ( ) n n a x b nn n n =
系数矩阵与常数项 C1C12C13∴a1n (2)(2) (2) a2 a C 00a23… bbb 000 C 计算出Am/,bm的过程称消去过程
(1) (1) (1) (1) (1) 11 12 13 1 1 (2) (2) (2) (2) 22 23 2 2 ( ) (n) (3) (3) (3) 33 3 3 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 b n n n n n n nn n a a a a b a a a b A a a b a b = = ， 系数矩阵与常数项： 计算出 A ( n ) ， b ( n ) 的过程称消去过程