§4正交多项式 若首项系数an≠0的n次多项式 0n(x),满足 ≠k (,9k) a p(0, ( rdx= Ak>0 j=k, (2k=O 就称多项式序列o,1,…O,在 a,b上带权(x)正交,并称n(x)是 [a,b]上带权(x)的n次正交多项式。 构造正交多项式的格拉姆一施密 特( Gram-Schmidt)方法 定理:按以下方式定义的多项 式集合{,q,9是区间[a,b上关
§4 正交多项式 若首项系数 0 n a 的 n 次多项式 ( ) n x ，满足 = = = 0 ; 0, , ( , ) ( ) ( ) ( )d A j k j k x x x x k j k b a j k ( , 0,1, ) j k = 就称多项式序列 0 1 , , , n ，在 [ , ] a b 上带权 ( ) x 正交，并称 ( ) n x 是 [ , ] a b 上带权 ( ) x 的 n 次正交多项式。 构造正交多项式的格拉姆－施密 特（Gram-Schmidt）方法 定理：按以下方式定义的多项 式集合 0 1 { , , , } n 是区间 [ , ] a b 上关
于权函数P(x)≥0的正交函数族 Po(x)=1 q1(x)=x-c1 0(x)=(x-ak)0k1(x)-B40-2(x) (k=2,3,…,m) 其中 (xpk-,PE (x)x(2-1(x)dx 0(x)(21(x)dx (k=1,2,3, p(xok(x)d (x)k-2(x)x (k=2,3,…,H
于权函数 ( ) 0 x 的正交函数族。 0 ( ) 1 x = 1 1 ( )x x = − 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k x x x x = − − − − ( 2,3, , ) k n = 其中 2 1 1 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) b k k k a k b k k k a x x x dx x x x dx − − − − − − = = ( 1, 2,3, , ) k n = 2 1 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) b k k k a k b k k k a x x dx x x dx − − − − − − = = ( 2,3, , ) k n =
证明可用归纳法,略。 例:求f(x)= SIn zx在[0,1]上 的二次最佳平方逼近多项式。 解:构造正交多项式 (x)=1 dx 0 x)=x-1=x 2 x(x 0 dx (0,9o) 12
证明可用归纳法，略。 例：求 f x x ( ) sin = 在［0，1］上 的二次最佳平方逼近多项式。 解： 构造正交多项式 0 ( ) 1 x = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 ( , ) 1 ( , ) 2 1 xdx x dx = = = 1 1 1 ( ) 2 x x x = − = − 1 2 0 1 1 2 1 2 1 1 0 1 ( ) ( , ) 1 2 ( , ) 2 1 ( ) 2 x x dx x x dx − = = = − 1 2 0 1 1 2 1 0 0 0 1 ( ) ( , ) 1 2 ( , ) 12 1 x dx dx − = = =
02(x)=(x-a2)(x)-B290(x)=(x-) x 于是 (2q2)=1ahx=1 0 12 (q202)=(x2-x+2)2a、1 0 180 (,Po)=I sin zxdx (,p)=I(-)sin txdx=o 0 (,2)=L(x-x+)sin Txo JO 3丌 故f(x)=Sn丌x在[0,1]上的二次 最佳平方逼近多项式为 0(x)=0(x) f,q1) (f,2) x (,90) (q1,2) (02,92)
2 2 2 2 1 2 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 12 6 x x x x x x x = − − = − − = − + 于 是 1 0 0 0 ( , ) 1 1 = = dx 1 2 1 1 0 1 1 ( , ) ( ) 2 12 = − = x dx 1 2 2 2 2 0 1 1 ( , ) ( ) 6 180 = − + = x x dx 1 0 0 2 ( , ) sin f xdx = = 1 1 0 1 ( , ) ( ) sin 0 2 f x xdx = − = 2 1 2 2 3 0 1 12 ( , ) ( )sin 6 3 f x x xdx − = − + = 故 f x x ( ) sin = 在［0,1］上的二次 最佳平方逼近多项式为 0 1 2 2 0 1 2 0 0 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4.1225 4.1225 0.05047 ( , ) ( , ) ( , ) f f f x x x x x x = + + − + −
4-1勒让德多项式 当区间为[-1,1],权函数 p(x)=1时,由{1x,…,x,…}正交 化得到的多项式就称为勒让德 ( Legendre)多项式,并用 B(x),P(x)…,P(x)…表示。 1(x)=1,P(x) (x2-1)} 2 n! dx P(x)是n次多项式,对其n次 求导后得 21(Q2n)(2n-1)…(n+1)x”+an1x1+…+ 首项x”的系数
4-1 勒让德多项式 当区间为［－1,1］，权函数 ( ) 1 x 时，由 {1, , , , } n x x 正交 化 得到的 多项 式就称 为勒让 德 (Legendre) 多 项 式 ， 并 用 0 1 ( ), ( ), , ( ), P x P x P x n 表示。 2 0 1 ( ) 1, ( ) {( 1) } 2 ! n n n n n d P x P x x n dx = = − ( 1, 2,3, ), n = ( ) P x n 是 n 次多项式，对其 n 次 求导后得 1 1 0 1 ( ) (2 )(2 1) ( 1) 2 ! n n n n n P x n n n x a x a n − = − + + + + − 首 项 n x 的系数
2m1(2n)(2n-1)…(n+1) (2n) 2"(n!) 显然最高项系数为1的勒让德多 项式为 P(x)= (2m)ah?(x2-1)y} 勒让德( Legendre)多项式具体表 达式为 1(x)=1 P2(x)=(3x2-1) P3(x)=(5x3-3x) P4(x)=:(35x4-30x2+3) 8
2 1 (2 )! (2 )(2 1) ( 1) . 2 ! 2 ( !) n n n n a n n n n n = − + = 显然最高项系数为 1 的勒让德多 项式为 2 ! ( ) {( 1) } (2 )! n n n n n d P x x n dx = − 勒让德(Legendre)多项式具体表 达式为 0 1 2 2 3 3 4 2 4 ( ) 1 ( ) 1 ( ) (3 1) 2 1 ( ) (5 3 ) 2 1 ( ) (35 30 3) 8 P x P x x P x x P x x x P x x x = = = − = − = − +
x)=∑ (-1)(2n-2k) n-2k k2k!(n-k)(n-2k) 0,132,…) 性质1正交性 0 ≠n i n()P()dr= 2 nm=n 2n+1 证明:反复用分部积分公式,略。 性质2奇偶性 P(-x)=(-1)"Pn(x) n为偶数时P(x)为偶函数,n为奇 数时(x)为奇函数。 性质3递推关系
[ ] 2 2 0 ( 1) (2 2 )! ( ) 2 !( )!( 2 )! n k n k n n k n k P x x k n k n k − = − − = − − ( 0,1, 2, ), n = 性质 1 正交性 1 1 0, ; ( ) ( ) 2 , . 2 1 n m m n P x P x dx m n n − = = + 证明：反复用分部积分公式，略。 性质 2 奇偶性 ( ) ( 1) ( ) n P x P x n n − = − n 为偶数时 ( ) P x n 为偶函数，n 为奇 数时 ( ) P x n 为奇函数。 性质 3 递推关系
(n+1)Bn1(x)=(2n+1)xP2(x)-mBn1(x) (n=1,2,3,…) 证明略。 性质4在所有最高项系数为 的n次多项式中,勒让德多项式 P(x)在[-1,1]上与零的平方误 差最小。 证:设Q(x)是任意一个最高项系 数为1的多项式,可表示为 Q,(x)=P(x)+∑akP(x)=x+bnx”1…bx+ k=0 于是 (Q,g)=(2(x)-0)ak=(x)
1 1 ( 1) ( ) (2 1) ( ) ( ) n n n n P x n xP x nP x + = + − + − ( 1, 2,3, ), n = 证明略。 性质 4 在所有最高项系数为 1 的 n 次多项式中，勒让德多项式 ( ) P x n 在［－1，1］上与零的平方误 差最小。 证：设 ( ) Q x n 是任意一个最高项系 数为 1 的多项式，可表示为 1 1 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) , n n n n n k k n k Q x P x a P x x b x b x b − − − = = + = + + 于是 1 1 2 2 1 1 ( , ) ( ( ) 0) ( ) Q Q Q x dx Q x dx n n n n − − = − =
(P2P)+∑a(B,P)≥(B2,P) 证毕。 性质5P(x)在区间[-1,1] 内有n个不同的实零点 4-2第一类切比雪夫 ( Chebyshev)多项式 当区间为[-1,1],权函数 时 由序列 x,…,x,}正交化得到的正交多 项式就是第一类切比雪夫 ( Chebyshev)多项式。它可表示
1 2 0 ( , ) ( , ) ( , ) n k n n k k n n k P P a P P P P − = = + 证毕。 性质 5 ( ) P x n 在区间［－1，1］ 内有 n 个不同的实零点。 4-2 第 一 类 切 比 雪 夫 （Chebyshev）多项式 当区间为［－1，1］，权函数 2 1 ( ) 1 x x = − 时，由序列 {1, , , , } n x x 正交化得到的正交多 项 式 就 是 第 一 类 切 比 雪 夫 （Chebyshev）多项式。它可表示
为 n()=cos(n arccos x) < 若令x=c0,当x在[-1,1] 上变化时,对应的在[0,π]上 变化,其可改写成 Tn(x)= cosne,0≤≤兀 具体表达式为 0(x)=cos0= T(x)=cos0=x 2(x)=c0s26=2cos26-1=2x T3(x)=cos30=4x3-3x T(x)=coS4=8x-8x2+1 Tn(x)=∑(-1) k-1)!/ (2x)-2k k!(n-2k)
为 ( ) cos( arccos ), 1. T x n x x n = 若令 x = cos , 当 x 在［－1，1］ 上变化时，对应的 在［0，π］上 变化，其可改写成 ( ) cos , 0 . T x n n = 具体表达式为 0 1 2 2 2 3 3 4 2 4 ( ) cos 0 1 ( ) cos ( ) cos 2 2cos 1 2 1 ( ) cos 3 4 3 ( ) cos 4 8 8 1 T x T x x T x x T x x x T x x x = = = = = = − = − = = − = = − + [ ] 2 2 0 ( 1)! ( ) ( 1) (2 ) 2 !( 2 )! n k n k n k n n k T x x k n k − = − − = − −