min f(x) g,(x)≤0, h,(x)=0, 只需令L(x,)=f(x)+∑b(x),然后考虑 1.g(x)≤0, 便会得到与定理2、3的相应结果,下面仅叙述相应的KT条件。 定理6(KT必要条件)设x*是问题(8)的可行解,J,g,(=1…,m),h(=1…,D)可微,再 假设Vg(x∈D和Vh(x)j=1,…线性无关,如果x是局部最优解则存在 0=1…,m)及x(=1…D,使得 )+Vg:(x)+∑Vh(x)=0 (9) igi 若问题是凸规划则亦可证KT条件是充分的。 可把 Botsko改进条件用于(1),有结果 定理7假定V(x)于O(x,5)/x上连续且0与(x)vmiI如果条件 af(x) 成立其中x=(x1,…x1,x1,x+1…xn)是可行解域,则x是问题(1)的严格局部最优解 证明:由 Taylor公式 f(x')=f(x)+V/(x)'(x-x)+o(x'-x 可有 f(x)=f(x)+∑(x (x;-x,) af(x)af(x) )+ (11) 当xx∈O(x,。)/x∩S且δ充分小时由于Vf(x)的连续性故有203      = =  = h x j l st g x i m f x j i ( ) 0, 1, , . . ( ) 0, 1, , min ( )   （8） 只需令 = = + l j j j L x f x h x 1 ( ,) ( )  ( ) ，然后考虑 st g x i m L x . . i ( ) 0, 1, min ( , )  =  便会得到与定理 2、3 的相应结果，下面仅叙述相应的 K-T 条件。 定理 6（K-T 必要条件） 设 x*是问题（8）的可行解， f , g (i 1, ,m) i =  , h ( j 1, ,l) j =  可微，再 假设 ( ( ) * g x i I  i ）  和 h x j l j ( ) 1, ,  * =  线性无关，如果 * x 是局部最优解,则存在 u 0(i 1, ,m) i  =  ( j 1, ,l) 及 j =  ，使得      = =  +  +  = = = u g x i m f x u g x h x i i m i l j i i j j ( ) 0, 1, , ( ) ( ) ( ) 0 * 1 1 * * *   （9） 若问题是凸规划则亦可证 K-T 条件是充分的。 可把 Botsko 改进条件用于(1),有结果: 定理 7 假定 f (x) 于 * * (x , )/ x 上连续,且 0 ) (   * lim → x f x x .如果条件  =    − i n x x f x x x i i i i 0, 1, , ( ) ( ) ( ) *  * * (x , )/ x  S (10) 成立,其中 ( , , , , ) * * 1 * 1 * 1 ( ) i i i n i x x x x x x = − + ,S 是可行解域,则 * x 是问题(1)的严格局部最优解. 证明:由 Taylor 公式: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * f x f x f x x x x x T = +  − +  − 可有 ) ( ) ( ) ( ) (x )( ( ) ( ) ( ) (x ) * n ( ) i 1 * i n ( ) i 1 * i * x x x f x x f x x x f x f x f x x i i i i i i i + −   −   − −   = +  −  = =  (11) 当 x,x (i)  * * (x , )/ x  S 且  充分小时,由于 f (x) 的连续性,故有