KT条件有明显的几何意义:对于任意一组n1≥0∈1),向量∑uVg(x)属于起作用约束 函数梯度向量Vg(x')i∈D)所张成的锥,由(6)知 即目标函数的负梯度向量-Vf(x)属于这个锥。 若fx)是凸函数,则K-T条件还是充分的。 定理4(KT充分条件)若∫,g1,i=1,…,m是可微凸函数,可行点x*满足K-T条件,则x*是问 题(1)的全局最优解 证:令S={:(x)0=1…,m因为g,1=1…,m为凸函数,所以S为凸集,x∈S由的 凸性,有 f(x)>f(x)+Vf(x)(x-x) 由于在点x*满足KT条件,则有u1≥0(∈1),使得 f(x)≥f(x)-∑uvg(x)(x-x) 又由于g(x)是凸函数,故又有 g(x)≥g,(x)+Vg(x')(x-x'),Vx∈S 因当i∈l时,g(x)=0,g,(x)≤0,从而g,(x)≤g(x),进而vg(x)(x-x)≤0,故 f(x)≥f(x)Vx∈S 即x*是全局最优解。 定理4的条件可以减弱,利用伪凸和拟凸的概念,仿定理4的证明有以下结果 定理5若∫是伪凸函数,g,(=1,…,m)是可微拟凸函数,可行点x*满足KT条件,则x*是问题 (1)的全局最优解 定理条件还可以减弱为f在x*点伪凸,g;(=1,…,m)在点x*可微拟凸,则相应的结论成立 对于既有等式约束又有不等式约束的一般数学规划问题(8)202 K-T 条件有明显的几何意义：对于任意一组 u 0(i I) i   ，向量    i I i i u g (x *） 属于起作用约束 函数梯度向量 ( )( ) * g x i I  i  所张成的锥，由（6）知   −  =  i I i i f (x * ) u g (x *） 即目标函数的负梯度向量 ( ) * − f x 属于这个锥。 若 f(x)是凸函数，则 K-T 条件还是充分的。 定理 4（K-T 充分条件） 若 f , gi ,i =1,  ,m 是可微凸函数，可行点 x*满足 K-T 条件，则 x*是问 题（1）的全局最优解。 证：令 S = x gi (x)  0,i =1,  ,m 因为 gi ,i =1,  ,m 为凸函数，所以 S 为凸集， xS,由f 的 凸性，有 ( ) ( ) ( ) ( ) * * * f x f x f x x x T  +  − 由于在点 x*满足 K-T 条件，则有 u 0(i I) i   ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) * * * f x f x u g x x x T i i i I  −   −  又由于 g (x) i 是凸函数，故又有 g x g x g x x x x S T i ( )  i ( ) +  i ( ) ( − ) ,   * * * 因当 i I 时， ( ) 0, ( ) 0 * gi x = gi x  ，从而 ( ) ( ) * g x g x i  i ，进而 ( ) ( ) 0 * * g x x − x  T i ，故 f (x)  f (x ) x  S * 即 x*是全局最优解。 定理 4 的条件可以减弱，利用伪凸和拟凸的概念，仿定理 4 的证明有以下结果。 定理 5 若 f 是伪凸函数， g (i 1, ,m) i =  是可微拟凸函数，可行点 x*满足 K-T 条件，则 x*是问题 （1）的全局最优解。 定理条件还可以减弱为 f 在 x*点伪凸， g (i 1, ,m) i =  在点 x*可微拟凸，则相应的结论成立。 对于既有等式约束又有不等式约束的一般数学规划问题（8）：