Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa a Phys Chapter10行波法和分离变量法本征值问题 上章复习:数理方程的导出与定解问题:泛定方程加上定解条件(例如,初 始条件、边界条件、衔接条件、自然条件和周期条件等) 目标:求一个微分方程的解满足确定条件例如初始条件和边界条件等的问题 般定解问题的分解: =/,回=0.「=0,[小=f, 0 1=0=9, 0 nL-=v.ul=v.{l-=0.l=0 III 解出问题I、I得1,l2,l2则一般问题的解为=l1+l2+3, 求解问题I是基础,问题II可转化为I或IIL问题II有多种解法。 bstract:求解数理方程定解问题的方法有分离变量法、行波法、积分变 换法、变分法、复变函数论等,这些方法各有千秋。分离变量法普 遍适用,在其使用条件下,自然导致了问题的核心一本征值问题 求解常微分方程:一般先求通解,再用某些定解条件定其参数 求解偏微分方程,即使求得通解,亦难于由定解条件来确定解(因 为含有任意函数)一本征值问题可解决此类问题。 一、一维无界空间域的自由振动问题达朗伯公式(不讲解) 1.行波法和d' Alembert公式(以无限长弦的自由振动为例) un-a2n=0(-∞<x<∞)(无界区域) 其中c(x)和v(x)是已知函数 P(x) =v(x) 特征方程:02u202u C a2=0.解得 于是作代换 dt x+at=C ,原方程化简为-4a2Un=0解之得U=f(5)+f2(m),这是因为 n=x+ar (x,1)=U(5,),1=U:+Un,x=U5+Um+U+Un u=-au+a.u=aU+aUMethods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 10 行波法和分离变量法 本征值问题 上章复习：数理方程的导出与定解问题：泛定方程加上定解条件（例如，初 始条件、边界条件、衔接条件、自然条件和周期条件等）。 目标：求一个微分方程的解满足确定条件例如初始条件和边界条件等的问题。 一般定解问题的分解：         0 0 0 0 0 0 0 0 , 0, 0, , ~ , ~ 0, ~ , ~ 0, , , 0, 0, . . 0. 0. I II II t t t t t t t t L u f L u L u L u f g g u u u u u u u u                                                                I 解出问题I、II、III得 1 2 3 u u u , , , 则一般问题的解为 u  u1  u2  u3， 求解问题 I 是基础，问题 II 可转化为 I 或 III，问题 III 有多种解法。 Abstract：求解数理方程定解问题的方法有分离变量法、行波法、积分变 换法、变分法、复变函数论等，这些方法各有千秋。分离变量法普 遍适用，在其使用条件下，自然导致了问题的核心—本征值问题。 求解常微分方程：一般先求通解，再用某些定解条件定其参数； 求解偏微分方程，即使求得通解，亦难于由定解条件来确定解（因 为含有任意函数）—本征值问题可解决此类问题。 一、 一维无界空间域的自由振动问题 达朗伯公式（不讲解） 1．行波法和 d’Alembert 公式（以无限长弦的自由振动为例）:   2 0 0 0 ( ), ( ); ( ), tt xx t t t u a u x u x u x                 无界区域 其中 (x) 和 (x) 是已知函数。 特征方程： 2 2 2 2 2 u u a t x       0 d d 2 2         a t x . 解得        2 1 x at C x at C .于是作代换        x at x at   ，原方程化简为 4 0 2  a U  .解之得 ( ) ( ) U  f 1   f 2  ，这是因为 2 2 2 2 ( , ) ( , ), , , , , x xx t tt u x t U u U U u U U U U u aU aU u a U a U a U a U                                 