Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa a Phys. F 其中f()和f2(7)是分别以5,n为宗量的任意函数。因此, l(x,1)=f(x-an)+f2(x+an),将之代入初始条件,有 f(x)+f2(x)=(x); (x)+f2(x)=(x)→f(x)-1(x)s、l aJv(a)da+Co f(x) p(x) 22 这就确定了f和f2的函数形式 5(x)=o(x)+ I 'w(ada q(x-at)+(x+a),1 u(x (a)da d' alembe公式。 物理意义: 在时空点(x,1)波形如f(x-a),到了下一时空点 (x+△x,t+△ 波形变为如 fx+Ax-a(+△)=f(x-an)+△x-aM]=f(x-a) 则△x=aM→a=,→沿速度,也就是说,f(x-a) 是一个沿x轴正方向以速度a传播的行波;同理, f2(x+an)是一个沿x轴负方向以速度a传播的行波。 在 d alembert公式中, 第一项表示由初位移激发的行波在t=0时的波形为(x),以后分成相等 的两部分,独立地向左右传播,速率均为a 第二项表示由初速度激发的行波,t=0时在x处的速度为v(x),在t时刻, 它将左右对称地扩展到x-a,x+ad]的范围,传播速率也都是a. 另外需要说明的是,这里我们没有明确写出边界条件,即 n(x,),→>0或(x,),有界。严格来说,的确应该明确写出无穷远Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 2 其 中 ( ) f 1  和 ( ) f 2  是 分 别 以  ,  为 宗 量 的 任 意 函 数 。 因 此 ， ( , ) ( ) ( ) u x t  f 1 x  at  f 2 x  at ，将之代入初始条件，有 1 2 f x f x x ( ) ( ) ( );   0 ' ' 1 2 1 2 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d . x x af x af x x f x f x C a              0 0 0 1 0 2 ( ) 1 ( ) ( )d , 2 2 2 ( ) 1 ( ) ( )d . 2 2 2 x x x x x C f x a x C f x a                      这就确定了 1 f 和 2 f 的函数形式， ( ) ( ) 1 ( , ) ( )d 2 2 x at x at x at x at u x t a              — d’Alembert 公式。 2．物理意义： 在时空点 ( , ) xt 波形如 1 f x at ( )  ，到了下一时空点 ( , ) x x t t     , 波 形 变 为 如 1 1 1 f x x a t t f x at x a t f x at [ ( )] [( ) ] ( ),              仍形如 则 ˆ x x a t a x t         沿 之速度, 也就是说， ( ) f 1 x  at 是一个沿 x ˆ 轴正方向以速度 a 传播的行波；同理， ( ) f 2 x  at 是一个沿 x ˆ 轴负方向以速度 a 传播的行波。 在 d’Alembert 公式中， 第一项表示由初位移激发的行波在 t  0 时的波形为 (x) ，以后分成相等 的两部分，独立地向左右传播，速率均为 a . 第二项表示由初速度激发的行波， t  0 时在 x 处的速度为 (x) ，在 t 时刻， 它将左右对称地扩展到 x  at, x  at 的范围，传播速率也都是 a . 另 外 需 要 说 明 的 是 ， 这 里 我 们 没 有 明 确 写 出 边 界 条 件 ， 即 ( , )  0 x u x t 或 x u(x,t) 有界。严格来说，的确应该明确写出无穷远