Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa a Phys. FDU 的条件。但是,对具体问题而言,这个条件可以由(x)和v(x)的具体形 式来得到保证。(x)和y(x)总是会局限在一个有限的范围内,即,当冈增 大时,∞(x)和y(x)都会足够快地趋于0.因此,从d’ Alembert解就可 以看出,在有限的时间内,l(x,1)总还是在一个有限的范围内才不为0.从 概念上说,所谓无穷长弦,当然只是一个理想化的抽象。它恰恰就表示 在我们所考察的时间和空间范围内,端点的影响可以忽略不计。 二、一维半无界域的自由振动问题初始条件的延拓(不讲解) 1.齐次边界条件:端点(x=0)固定: =0(x≥0) =。=(x),u,l=0=v(x) =0, 其中以(x)和v(x)是已知函数。因为(x)和y(x)以及(x,1)仅仅在x≥0有 定义,不能直接应用无界区域的 d alembert公式。 为了能够应用 d' Alembert公式,要设法将o(x)和v(x)以及u(x,1)的 定义域延拓到x<0(与 Fourier展开时所作的延拓相似),并要满足边界 条件叫=0.如果这样的解(x,1)(-<x<∞)找到了,那么它的x≥0的 部分就是原定解问题的解。 ∫o(x)x20 x)= (x) Jv(x) x20, 0 U(x,) p(x-at)+o(x+at) 1 oara y(a)da 为确定Φ,屮,将之代入边界条件,得 U(x,1) o(at)+p(at) H(a)da=0(≥0) 记y=at,上式改写为Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 3 的条件。但是，对具体问题而言，这个条件可以由 (x) 和 (x) 的具体形 式来得到保证。 (x) 和 (x) 总是会局限在一个有限的范围内，即，当 x 增 大时， (x) 和 (x) 都会足够快地趋于 0 . 因此，从 d’Alembert 解就可 以看出，在有限的时间内， u(x,t) 总还是在一个有限的范围内才不为 0 . 从 概念上说，所谓无穷长弦，当然只是一个理想化的抽象。它恰恰就表示： 在我们所考察的时间和空间范围内，端点的影响可以忽略不计。 二、 一维半无界域的自由振动问题 初始条件的延拓（不讲解） 1．齐次边界条件：端点 ( 0) x  固定：   2 0 0 0 0 0 , ( ), ( ); 0, tt xx t t t x u a u x u x u x u                  其中 (x) 和 (x) 是已知函数。因为 (x) 和 (x) 以及 u(x,t) 仅仅在 x  0 有 定义，不能直接应用 无界区域 的 d’Alembert 公式。 为了能够应用 d’Alembert 公式，要设法将 (x) 和 (x) 以及 u(x,t) 的 定义域延拓到 x  0 （与 Fourier 展开时所作的延拓相似），并要满足边界 条件 0 0  x u . 如果这样的解 u x t x ( , )     找到了，那么它的 x  0 的 部分就是原定解问题的解。 ( ) 0, ( ) ? 0. x x x x        ( ) 0, ( ) ? 0. x x x x        ( ) ( ) 1 ( , ) ( )d , 2 2 x at x at x at x at U x t a              为确定 , ，将之代入边界条件，得 0 ( ) ( ) 1 ( , ) ( )d 0 2 2 at x at at at U x t a              t  0. 记 y  at ，上式改写为