2006春季班 线性代数第7章特征值与特征向量 (2)若X是A的属于特征值的特征向量,k是非 零常数,则kX也是A的属于特征值λ的特征向量 如果将全体属于λ的特征向量再添一个零向量构 成一个集合,记作Vx,那么这个集合关于向量的加法 和数乘向量这两种运算都是封闭的,也就是说,V是 R"的一个子空间,称为特征子空间.这个特征子空 间的一组基就是属于这个特征值的线性无关的特征 向量.特征子空间的维数就是属于这个特征值的线性 无关的特征向量的最多个数.求某个特征值的特征向 量就要将它的全体特征向量表示出来,就等于说求出 特征子空间的基的线性组合 矩阵的特征值与矩阵的其他参数有两个很重要 关系,他们是 (1)矩阵的所有特征值之和等于矩阵的迹(矩阵 的主对角元之和)即 ∑ =t4 ∑an (2)矩阵的所有特征值的乘积等于矩阵的行列 式,即 Ta;=det A2006 春季班 线性代数 第 7 章 特征值与特征向量 7—2 （２）若 X 是 A的属于特征值λ 的特征向量, k 是非 零常数，则kX 也是 A的属于特征值λ 的特征向量． 如果将全体属于λ 的特征向量再添一个零向量构 成一个集合，记作Vλ，那么这个集合关于向量的加法 和数乘向量这两种运算都是封闭的，也就是说，Vλ是 n R 的一个子空间，称为特征子空间．这个特征子空 间的一组基就是属于这个特征值的线性无关的特征 向量．特征子空间的维数就是属于这个特征值的线性 无关的特征向量的最多个数．求某个特征值的特征向 量就要将它的全体特征向量表示出来，就等于说求出 特征子空间的基的线性组合． 矩阵的特征值与矩阵的其他参数有两个很重要 关系，他们是 （１） 矩阵的所有特征值之和等于矩阵的迹（矩阵 的主对角元之和）即 ∑ ∑ = = = = n i ii n i i trA a 1 1 λ ； （２） 矩阵的所有特征值的乘积等于矩阵的行列 式，即 A n i i det 1 ∏ = = λ ．