Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa a Phys. F 由此得到两个常微分方程: T()+a7(t)=0, (10.1) Ⅹ"(x)+AX(x)=0 (10.2) 同样,将此(x,1)代入边界条件,得 X(O)T()=0,X(D)T()=0,这时必须有 X(0)=0,X()=0因为T(1)不可能恒为0,否则l(x,1)恒为0](10.3) 这样就完成了分离变量法求解偏微分方程定解(亦定界) 问题的第一步:分离变量。在这一步中,假设所要求的是变 量分离形式的非零解l(x,1)=X(x)(),导出了函数Ⅺ(x)应该满 足的常微分方程和边界条件,以及T()所满足的常微分方程。 分离变量之所以能够实现,是因为原来的偏微分方程和边界 条件都是齐次的(可分离变量)。 第二步求解本征值问题: 上面得到的函数Ⅺ(x)的常微分方程定解问题,称为本征 问。其特点是:常微分方程X"(x)+aX(x)=0中含有一个待定 常数λ,而定解条件X(0)=0,X()=0是一对齐次边界条件。这 样的定解冋题不同于我们过去熟悉的常微分方程的初边值问 题。下面将看到,并非对于任何λ值,都有既满足齐次常微分 方程,又满足齐次边界条件的非零解。只有当λ取某些特定值 时,才有既满足齐次常微分方程又满足齐次边界条件的非零 解X(x).λ的这些特定值称为本征( eigenvalue),相应的非 零解称为本征函数( eigenfunction)Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 12 由此得到两个常微分方程： 2 T t a T t ( ) ( ) 0,    （10.1） X x X x ( ) ( ) 0.    （10.2） 同样，将此 u(x,t) 代入边界条件，得 X(0)T(t)  0， X(l)T(t)  0 ，这时必须有 X(0)  0， X(l)  0 [因为 T(t) 不可能恒为 0，否则 u(x,t) 恒为 0]. （10.3） 这样就完成了分离变量法求解偏微分方程定解（亦定界） 问题的第一步：分离变量。在这一步中，假设所要求的是变 量分离形式的非零解 u(x,t)  X(x)T(t) ，导出了函数 X(x) 应该满 足的常微分方程和边界条件，以及 T(t) 所满足的常微分方程。 分离变量之所以能够实现，是因为原来的偏微分方程和边界 条件都是齐次的（可分离变量）。 第二步,求解本征值问题： 上面得到的函数 X(x) 的常微分方程定解问题，称为本征值 问题。其特点是：常微分方程 X(x)  X(x)  0 中含有一个待定 常数  ，而定解条件 X(0)  0，X(l)  0 是一对齐次边界条件。这 样的定解问题不同于我们过去熟悉的常微分方程的初边值问 题。下面将看到，并非对于任何  值，都有既满足齐次常微分 方程，又满足齐次边界条件的非零解。只有当  取某些特定值 时，才有既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零 解 X(x) .  的这些特定值称为本征值(eigenvalue)，相应的非 零解称为本征函数(eigenfunction)