Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa a Phys X"+X=0,X(x)1=0/=0 X= cos(nn/), a,=(nT/D T,=B sin( nnat/1), n=1, 2, 3 u(x,t)=2-B, cos(nrx/)sin(nat/D) nraB,/1=(2/Dy(x)cos(nzx//)dx n(x)=∑n(2/azmJv(x)osnzxdrco(nxsi(na 这正是波的分解与合成。这是I型定解问题:齐次方程和齐次(自由边界 条件,非齐次初始条件。 三、分离变量法一(偏→常)微分方程问题[定解问题I型(齐次边条 1.一维有界区域自由振动问题的驻波解 (有界区域齐次边条振动问题,存在驻波、节点、本征频率和波的叠加等) 下面以两端固定弦的自由振动为例(1+1D问题 a2ux=0(0<x<10<1<∞), l-=0,叫l uls=p(x);u,leo=(x) 定解问题I型:方程和边界条件都是齐次的,而初始条件是非齐次的。 第一步,分高变量: 设u(x,)=X(x)(t)[取此特解形式,可得驻波解:T()是振荡函数,而 与x无关,X(x)是幅度函数,与t无关],将此u(x,1)代入方程,即得 X(x)T()=a2X"(x)7( 等式两端除以a2X(x)7(0),就有"()_x"(x) a2T(1)X(x) 注意在这个等式中,左端只是t的函数,与x无关,而右端只是x的函数, 与t无关。因此,左端和右端相等,就必须共同等于一个既与x无关、又与t 无关的常数。令这个常数为-1(参数),,、T"()_X(x)-2 a2T(1)X(x)Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 11 0, '' 0, '( ) | 0. X X X x     x l  sin( / ), 1,2,3, . cos( / ), ( / ) , 2      T B n at l n X n x l n l n n n n     1 0 ( , ) cos( / )sin( / ), / (2 / ) ( )cos( / )d . n n l n u x t B n x l n at l n aB l l x n x l x            1 0 ( , ) 2 / ) ( ')cos( '/ )d 'cos( / )sin( / ). l n u x t a n x n x l x n x l n at l          （  这正是波的分解与合成。这是 I 型定解问题：齐次方程和齐次(自由)边界 条件，非齐次初始条件。 三、 分离变量法—（偏  常）微分方程问题[定解问题 I 型(齐次边条)] 1. 一维有界区域自由振动问题的驻波解 (有界区域齐次边条振动问题，存在驻波、节点、本征频率和波的叠加等) 下面以两端固定弦的自由振动为例(1+1D 问题):   2 0 0 0 0 0 ,0 , 0; 0, ( ); ( ). tt xx x x l t t t u a u x l t u u u x u x                        定解问题 I 型：方程和边界条件都是齐次的，而初始条件是非齐次的。 第一步, 分离变量： 设 u(x,t)  X(x)T(t) [取此特解形式，可得驻波解：Tt() 是振荡函数，而 与 x 无关， X x( ) 是幅度函数，与 t 无关],将此 u(x,t) 代入方程，即得 2 X x T t a X x T t ( ) ( ) ( ) ( ).    等式两端除以 ( ) ( ) 2 a X x T t ，就有 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 X x X x a T t T t    . 注意在这个等式中，左端只是 t 的函数，与 x 无关，而右端只是 x 的函数， 与 t 无关。因此，左端和右端相等，就必须共同等于一个既与 x 无关、又与 t 无关的常数。令这个常数为  (参数)，即，      ( ) ( ) ( ) ( ) 2 X x X x a T t T t