Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa a Phys. F 0(x)=∑4 (10.4) v(x)=∑"Bsin (10.5) 第四步利用本征函数的正交性确定叠加系数: 本征函数的正交性:「x(x)Xn(x)dx=0,(m≠m) 本征函数的模方:|(=x:(=5(m=123-) 因此,在(10.4)式两端同乘以xn(x)=smmx,并逐项积分,就得到 mzX nIX mZX P(x)sin-.dx A sin dx mzx A dx=∑Anom=A nAN 所以,A4=7o( xsin 同样可以得到,B=2[v(3m2dx,这样,根据初始条件中的 已知函数o(x)和v(x),计算出积分,就可以得到叠加系数A和Bn, 从而就求得了整个定解问题的解 第五步,解的物嬃解:就两端固定弦来说,固有频率中有一个最小值, 即的ˉ/·称为基频。其它固有频率都是它的整数倍,称为陪频。整个问题 的解是许多驻波的迭加。这种解法也称为驻波法 将一个偏微分方程转化为几个常微分方程,同时边界条件亦可分离变量(如 齐次边界条件);常微分方程和相应的齐次边界条件构成了本征值问题,由此解 出一系列本征值和本征函数族 a2ux(0<x<l,0<t<∞) 再例如 0=0,u(x,O)=0,1(x,0)=v(xMethods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 10 1 1 ( ) sin , (10.4) ( ) sin . (10.5) n n n n n x A x l n a n x B x l l                    第四步,利用本征函数的正交性确定叠加系数： 本征函数的正交性: X x X x x n m l n m    ( ) ( )d 0, 0 . 本征函数的模方: 2 ( ) ( )d 0 2 2 l X x X x x l n  n   . n 1,2,3, . 因此，在(10.4)式两端同乘以 x l m X x m  ( )  sin ，并逐项积分，就得到 0 0 1 0 1 1 ( )sin d sin sin d sin sin d . 2 2 l l n n l n n nm m n n m x n x m x x x A x l l l n x m x l l A x A A l l                        所以，   l n x l n x x l A 0 ( )sin d 2   . 同样可以得到，   l n x l n x x n a B 0 ( )sin d 2    . 这样，根据初始条件中的 已知函数 (x) 和 (x) ，计算出积分，就可以得到叠加系数 An 和 Bn ， 从而就求得了整个定解问题的解。 第五步, 解的物理解释：就两端固定弦来说，固有频率中有一个最小值， 即 l a 1  ，称为基频。其它固有频率都是它的整数倍，称为倍频。整个问题 的解是许多驻波的迭加。这种解法也称为驻波法。 将一个偏微分方程转化为几个常微分方程，同时边界条件亦可分离变量（如 齐次边界条件）；常微分方程和相应的齐次边界条件构成了本征值问题，由此解 出一系列本征值和本征函数族。 再例如:   2 0, 0 ,0 , | 0, ( ,0) 0, ( ,0) ( ). tt xx x x l t u a u x l t u u x u x x           