Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa a Phys 由方程(10.2)解得,X(x)=Ccos√x+C2sin√x C1=0; 将这个通解代入边界条件(10.3),就有 C,sin√=0 C1和C2不能同时为0,只能是sn√A=0,即√l=nm(n=12,3…) 于是只能取如下的一系列值人=()(0=123-)相应的本征函 数为:X(x)=sin"x,记为: Sin-x}·这样求得的本征值有无穷多个,他 们可以用正整数n标记。我们把本征值和本征函数分别记为n和xn(x) 第三步求解,外叠加出一般解 对于每一个本征值λn,由T()+a27(t)=0(10.1)解出相应的 n n T,(t): T,(t=A, cos -at+B, sin 因此,也就得到了满足偏微分方程和边界条件的特解 u (x, t) cos—at+Bsmn x(n=12,3,…) 这样的特解有天穷参个(n=1,2,3,…)。每一个特解都时满又齐 次偏徹分方程和齐次边界条件。单独任何一个特解不能满足定解冋题中 的初始条件。由于偏徹分方程和边界条件都是齐次的,把它们的特解线 性叠加起来,即 u(x,)=2A, cos "at +B, sin -at sin"T 这样得到的l(x,D)也仍然是齐次偏微分方程在齐次边界条件下的解。这 种形式的解称为一般解。 现在根据初始条件中的已知函数(x)和v(x)定出叠加系数A和Bn 将上面的一般解代入初始条件,得Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 9 由方程（10.2）解得, 1 2 X x C x C x ( ) cos sin .     将这个通解代入边界条件（10.3）,就有 1 2 0; sin 0. C C l        C1 和 C2 不能同时为 0，只能是 sin l  0 ，即 l  n n 1,2,3, . 于是  只能取如下的一系列值： 2        l n n   n 1,2,3,  ；相应的本征函 数为: ( ) sin , n n X x x l   记为: sin . n x l        这样求得的本征值有无穷多个，他 们可以用正整数 n 标记。我们把本征值和本征函数分别记为 n 和 X (x) n . 第三步,求特解，并叠加出一般解： 对于每一个本征值 n ，由 ( ) ( ) 0 2 T t  a T t  （10.1）解出相应的 T (t) n : at l n at B l n Tn t An n   ( )  cos  sin . 因此，也就得到了满足偏微分方程和边界条件的特解: x l n at l n at B l n un x t An n    ( , ) cos sin sin        n 1,2,3, . 这样的特解有无穷多个 n 1,2,3,  。每一个特解都同时满足齐 次偏微分方程和齐次边界条件。单独任何一个特解不能满足定解问题中 的初始条件。由于偏微分方程和边界条件都是齐次的，把它们的特解线 性叠加起来，即            1 ( , ) cos sin sin n n n x l n at l n at B l n u x t A    . 这样得到的 u(x,t) 也仍然是齐次偏微分方程在齐次边界条件下的解。这 种形式的解称为一般解。 现在根据初始条件中的已知函数 (x) 和 (x) 定出叠加系数 An 和 Bn . 将上面的一般解代入初始条件，得