Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa a Phys (三、由简述到一般)例如:两端固定弦的自由振动问题: ln-a2nx=0(0<x<1,0<1<∞) lulea =o(x); u,lso=y(x) 定解问题I型:齐次方程和齐次(固定边界条件,非齐次初始条件]。 第一步,分高变量 设u(x,1)=X(x)7(t),将此lx,)代入方程,即得 X(xT(o=a'X(x)T(o 等式两端除以a2X(x)(),就有了(=x(x) a27()X(x) 左端只是t的函数(与x无关),右端只是x的函数(与t无关)。因此,要左 端和右端相等,就必须共同等于一个既与x无关、又与t无关的常数。令这 个常数为-2(参数),即(0=x(x)=-2.由此得到两个常微分方程组 aT(o X(x) T"(t)+la2T(t)=0, (10.1) X"(x)+AX(x)=0 (10.2) 同样,将此(x,1)代入边界条件,得X(O)=0,X(D)=0.(10.3) 这就是分离变量,即导出了函数Ⅺ(x)满足的常微分方程和边界条件, 以及1(口)满足的常微分方程。分离变量之所以能够实现,是因为原来的偏微 分方程和边界条件都是齐次的。 第二步求解本征值问题: 常微分方程X(x)+AX(x)=0中含有一个待定常数,而定解条件 X(0)=0,X()=0是一对齐次边界条件。只有当λ取某些特定值时,才有既 满足齐次常微分方程,又满足齐次边界条件的非零解X(x).A的这些特定值 称为本怔"( eigenvalue),相应的非零解称为本征函( eigenfunction)Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 8 （三、由简述到一般）例如: 两端固定弦的自由振动问题:   2 0 0 0 0 0 ,0 , 0; 0, ( ); ( ). tt xx x x l t t t u a u x l t u u u x u x                        [定解问题 I 型：齐次方程和齐次(固定)边界条件，非齐次初始条件]。 第一步, 分离变量： 设 u(x,t)  X(x)T(t) ,将此 u(x,t) 代入方程，即得 2 X x T t a X x T t ( ) ( ) ( ) ( ).    等式两端除以 ( ) ( ) 2 a X x T t ，就有 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 X x X x a T t T t    . 左端只是 t 的函数(与 x 无关)，右端只是 x 的函数(与 t 无关)。因此，要左 端和右端相等，就必须共同等于一个既与 x 无关、又与 t 无关的常数。令这 个常数为   (参数)，即      ( ) ( ) ( ) ( ) 2 X x X x a T t T t .由此得到两个常微分方程组： 2 T t a T t ( ) ( ) 0,    （10.1） X x X x ( ) ( ) 0.    （10.2） 同样，将此 u(x,t) 代入边界条件，得 X(0)  0, X l( ) 0.  （10.3） 这就是分离变量，即导出了函数 X(x) 满足的常微分方程和边界条件， 以及 T(t) 满足的常微分方程。分离变量之所以能够实现，是因为原来的偏微 分方程和边界条件都是齐次的。 第二步,求解本征值问题： 常微分方程 X(x)  X(x)  0 中含有一个待定常数  ，而定解条件 X(0)  0，X(l)  0 是一对齐次边界条件。只有当  取某些特定值时，才有既 满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解 X(x) .  的这些特定值 称为本征值(eigenvalue)，相应的非零解称为本征函数(eigenfunction)