Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa a Phys 2.非齐次边界条件: 0(x20) a2lx=0(x≥0) x=0(x≥0), ul=o(x) ul=o(x); 0 v(x), 叫=f() a=f() 定解问题的解u(x1)等于问题I的解4(x,1)和问题Ⅱ的解u2(x1)之和,即 u(x, O=u(,t)+u2(x,t) 定解问题I的解a(x,1)前面已经给出 P(x-ar)+o(x+ar) (a)dat≤ 0x+a)-以an-x)11rxa, y(ada t 现在讨论定解问题Ⅱ的求解, 1)因为该系统既没有外力作用,初始条件又为0,所以x=0点的扰 动是系统振动的唯一原因(来源),因此,在x≥0区域,只能有向右传播的 波而不能有向左传播的波。所以,变量x和t只能以x-at或t--的组合形 式出现于解中,而不能以另一种形式x+at或+的组合形式出现。 (2)就x点来说,当1<-时,x=0点的扰动尚未影响到这点,这点仍 处在平衡位置,所以解的形式是:2(x,1)=F1--|Ht (3)最后,由边界条件确定F的具体形式,得F(t)=f(t)(≥0) 所以,a2(x,)=f1--HtMethods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 7 2．非齐次边界条件：       2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 , 0 0 , ( ); ( ); 0; ( ), ( ), 0, ( ). 0. ( ). tt xx tt xx tt xx t t t t t t x x x u a u x u a u x u a u x u x u x u u x u x u u f t u u f t                                                       I II 定解问题的解 u(x,t) 等于问题 I 的解 ( , ) 1 u x t 和问题 II 的解 ( , ) 2 u x t 之和，即 ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 u x t  u x t  u x t . 定解问题 I 的解 ( , ) 1 u x t 前面已经给出， 1 ( ) ( ) 1 ( )d ; 2 2 ( , ) ( ) ( ) 1 ( )d . 2 2 x at x at x at at x x at x at x t a a u x t x at at x x t a a                                 现在讨论定解问题 II 的求解， （1）因为该系统既没有外力作用，初始条件又为 0 ，所以 x  0 点的扰 动是系统振动的唯一原因（来源），因此，在 x  0 区域，只能有向右传播的 波而不能有向左传播的波。所以，变量 x 和 t 只能以 x  at 或 a x t  的组合形 式出现于解中，而不能以另一种形式 x  at 或 a x t  的组合形式出现。 （2）就 x 点来说，当 a x t  时， x  0 点的扰动尚未影响到这点，这点仍 处在平衡位置，所以解的形式是： 2 ( , ) H x x u x t F t t a a                . （3）最后，由边界条件确定 F 的具体形式，得 Ft  f (t) t  0 . 所以， 2 ( , ) H . x x u x t f t t a a               