Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa a Phys. F dp(-ar)+p(at) Y()-Y-at) =0(≥0) 2 2a 记 上式改写为 d(-y)+Φ(y),H(y)-H(-y) =0(y≥0) 由此可见,Φ,的形式(当其宗量为负值时)可以取为 )=y),(-y)=(y)(v≥0) 其中第一个式子来源于Φ(-y)+Φ(y)=0,这是偶延拓问题转化为 ln-a2ux=0(-∞<x<∞) 0 pp(x) 0 L=平(x) ∫w(x)x0 y(-x)x<0. 注意到,x+at一定大于等于0,但x-at可正可负,因此, 当x-a20,即t≤时,(x,1)=(x-am)+(x+a)-1rxm 2aj v(a)de 当x-at<0,即t>-时 p(x+at+p(at-x),I( o 2ao v(a)da y(e)dB =(x+a)+oa-x)+1r y(a)da+ y(B)dB 综上所述,我们得到原定解问题(x≥0)的解 p(x-ar)+o( a)da x u(x, t P(x+ar)+o(at-x)1(rx+ar v(a)da+。w(ada}|t>Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 6 0 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( , ) 0             a at at at at u x t x x t  0. 记 y  at ，上式改写为 0 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )           a y y y y y  0. 由此可见， , 的形式（当其宗量为负值时）可以取为 (y)  (y)，(y)  (y) y  0, 其中第一个式子来源于       ( ) ( ) 0, y y 这是偶延拓. 问题转化为   2 0 0 0 , ( ) 0; ( ) ( ) 0. ( ) 0; ( ) ( ) 0. tt xx t t t u a u x x x u x x x x x u x x x                                          注意到， x  at 一定大于等于 0 ，但 x  at 可正可负，因此， 当 x  at  0 ，即 a x t  时， ( ) ( ) 1 ( , ) ( )d ; 2 2 x at x at x at x at u x t a              当 x  at  0 ，即 a x t  时，       0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 ( , ) ( )d ( )d 2 2 ( ) ( ) 1 ( )d ( )d 2 2 ( ) ( ) 1 ( )d ( )d . 2 2 x at x at x at at x x at at x at x x at u x t a x at at x a x at at x a                                                        综上所述，我们得到原定解问题（ x  0 ）的解:  0 0  ( ) ( ) 1 ( )d ; 2 2 ( , ) ( ) ( ) 1 ( )d ( )d . 2 2 x at x at x at at x x at x at x t a a u x t x at at x x t a a                                                  