2唯一性 定理2每个收敛的数列只有一个极限 证设imxn=a,又imxn=b,a<b由定义, 对于E= N1,N2使得 当n>N时恒有xn-a<E; 取N=max{N1,N2 当n>N时恒有xn-b<E 则当n>N时有 b-a na< bl< n 2 a+b a+b x,< y,> 矛盾! 上式仅当=b时才能成立故极跟唯一E2.唯一性 定理2 每个收敛的数列只有一个极限. 证 x a xn b a b n n n = = → → 设 lim ,又 lim , 由定义, 对 于 , , .使 得 2 N1 N2 b a − = ; 1 n N x − a 当 时恒有 n ; 2 n N x − b 当 时恒有 n max , , 取N = N1 N2 则当n N时有 2 b a xn a − − 即 矛盾! 2 , 2 a b x a b xn n + + 上式仅当a = b时才能成立. 故极限唯一. 2 b a xn b − −