第二节收敛数列的性质 冯永平 Fypmath agzhu. edu. cn
第二节 收敛数列的性质 冯永平 Fypmath@gzhu.edu.cn
数列极限的性质 1有界性 定理1收敛的数列必定有界 证设 lim x=a,由定义,取8=1 则N,使得当n>N时恒有xn-a<1 即有a-1<xn<a+1. 记M=max{x1,…,xN,a-1,a+1}, 则对一切自然数n皆有xn≤M,故{xn有界 法高;有界性是数列推论无界数列必定发散 收敛的必要条件
定理1 收敛的数列必定有界. 证 lim x a, n n = → 设 由定义, 取 = 1, N, n N x − a 1, 则 使得当 时恒有 n a − 1 x a + 1. 即有 n max{ , , , 1, 1}, 记 M = x1 xN a − a + n, x M, 则对一切自然数 皆有 n 故 有界. xn 注意：有界性是数列 收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 一、数列极限的性质 1.有界性
2唯一性 定理2每个收敛的数列只有一个极限 证设imxn=a,又imxn=b,aN时恒有xn-aN时恒有xn-bN时有 b-a na 矛盾! 上式仅当=b时才能成立故极跟唯一E
2.唯一性 定理2 每个收敛的数列只有一个极限. 证 x a xn b a b n n n = = → → 设 lim ,又 lim , 由定义, 对 于 , , .使 得 2 N1 N2 b a − = ; 1 n N x − a 当 时恒有 n ; 2 n N x − b 当 时恒有 n max , , 取N = N1 N2 则当n N时有 2 b a xn a − − 即 矛盾！ 2 , 2 a b x a b xn n + + 上式仅当a = b时才能成立. 故极限唯一. 2 b a xn b − −
3保号性 定理3若iman=a>0或aN时有an>r(或anM时an≤b 则 lim a lim b n→0
3.保号性 定理3 若 ，则对任意 .（或 ） ， lim = 0( 0) → an a a n 或 r (0,a) r (0,a) N, n N a r( a r) 时有 n 或 n 定理4 若 均存在，并且 则： 4.保不等性 n n n n a b → → lim ,lim N n N an bn , 时 n n n n a b → → lim lim
例1设xn>0,且 limx=a>0, 求证 limax=√a 证任给e>0,; limx=a, 彐N使得当n>N时恒有xn-a<E, 从而有 < < x.+√ 故im√xn n→0
例 1 lim . 0, lim 0, x a x x a n n n n n = = → → 求证设 且 证 任给 0 , lim x a. n n = → 故 lim x a, n n = → N n N x a , n 使得当 时恒有 − x a x a x a nn n +− 从而有 − = a xn − a a
5夹逼准则 如果数列xn,yn及n满足下列条件 O ysx,sin (n=1, 2, 3.. (2 ) lim n-yo0n sa. lim=a n->on 那末数列x的极限存在,且 lim x=a 本定理既给出了判别数列收敛的方法;又提供了 个计算数列极限的方法。 证∵yn→>a,n→>a, va>0,3N>0,N2>0,使得□p
5.夹逼准则 如果数列 n n x , y 及 n z 满足下列条件: (2) lim , lim , (1) ( 1,2,3 ) y a z a y x z n n n n n n n n = = = → → 那末数列 n x 的极限存在, 且 xn a n = → lim . 证 y a, z a, n → n → 0, N1 0, N2 0, 使得 本定理既给出了判别数列收敛的方法；又提供了一 个计算数列极限的方法
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 当n>N时恒有yn-aN时恒有kn-aN时,恒有a-<yn≤xn≤zn<a+, 即xn-a<E成立,∴ lim x=a n→0
, 1 n N y − a 当 时恒有 n max{ , }, 取 N = N1 N2 当n N时, 恒有 a − y a + , 即 n , 2 n N z − a 当 时恒有 n a − z a + , n 上两式同时成立, a − y x z a + , n n n 即 x − a 成立, n lim x a. n n = → 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
利用夹逼准则求极限关键是构造出y与zn, 注意:并且y与的极限是容易求的 例2求数列{m}的极限。 解:记an=%n=1+hn,这里h>0(n>1),则有: 2 lsan=1+hn≤1+ n-1 左右两边的极限均为1,故由夹逼准则本例得证
注意: . , 并且 与 的极限是容易求的 利用夹逼准则求极限关键是构造出 与 n n n n y z y z 例2 求数列 的极限。 解： 记 ， 这里 ，则有： 左右两边的极限均为1， 故由夹逼准则本例得证。 { } n n n n an = n = 1+ h h 0(n 1) n 1 2 1 1 1 − = + + n an hn
例3求lm( ∴十 n2+1√m2+2 √n-+n n 解 < 十∴ n tn n2+1 √n2+nn2+1 又l m =lim n→0√n2+nn→ 1+ l,由夹逼定理得 n→√n2+1n→0 ∴十 n→0 √n2+1√n2+2 2 √n-+n
例3 ). 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 n n n n + n + + + + → + 求 解 , 1 1 1 1 2 2 2 2 + + + + + + n n n n n n n n n n n n n n 1 1 1 lim 2 lim + = → + → 又 = 1, 2 2 1 1 1 lim 1 lim n n n n n + = → + → = 1, 由夹逼定理得 ) 1. 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 = + + + + + n→ n + n n n
6、极限运算法则 设 lim a=A, lim b=B,则 n→00 n→00 (1)lim(an±bn)=A±B; n→>00 2) lim a·bn=A·B; n n n→0 (3)lim ,其中B≠0. n→0 h B
6、极限运算法则 (3) lim , 0. (2) lim ; (1) lim( ) ; lim ,lim , = = = = = → → → → → B B A b a a b A B a b A B a A b B n n n n n n n n n n n n n 其 中 设 则