第五节无穷小量和无穷大量 冯永平 Fypmath agzhu. edu. cn
第五节 无穷小量和无穷大量 冯永平 Fypmath@gzhu.edu.cn
无穷小量 1定义:极限为零的变量称为无穷小量 定义1如果对于任意给定的正数E(不论它多么小), 总存在正数S(或正数X),使得对于适合不等式 0X)的一切x,对应的函数值 f(x)都满足不等式∫(x))时为无穷小 记作imf(x)=0(@lim∫(x)=0)
一、无穷小量 1.定义: 定义 1 如果对于任意给定的正数e(不论它多么小), 总存在正数 d( 或正数 X),使得对于适合不等式 X)的一切 x,对应的函数值 f (x)都满足不等式 f ( x) < e, 那末 称函数 f ( x)当 0 x x （或 ）时为无穷小, 记作 lim ( ) 0 ( lim ( ) 0). 0 f x = f x = x x x 或 极限为零的变量称为无穷小量. → → x → →
例如, limin x=0,∴函数sinx是当x→0时的无穷小 x→0 m = 函数是当x→>∞时的无穷小 x→> (-1) 数列{ 1) }是当n→>∞o时的无穷小 n→0 注意 1无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2零是可以作为无穷小的唯一的数
例如, limsin 0, 0 = → x x 函数sin x是当x → 0时的无穷小. 0, 1 lim = x→ x . 1 函数 是当x → 时的无穷小 x 0, ( 1) lim = - → n n n } . ( 1) 数列{ 是当 → 时的无穷小 - n n n 注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数
2无穷小与函数极限的关系 定理1limf(x)=A分∫(x)=A+a(x) x→x 其中α(x)是当x→>x0时的无穷小 证设Iim∫(x)=A,令a(x)=f(x)-A, x→x vE>0,38>0,使得当0<x-x0<6时 恒有f(x)-A<E 即有a(x)<
2.无穷小与函数极限的关系: 证 lim ( ) , 0 f x A x x = → 设 令 (x) = f (x) - A, 定理 1 lim ( ) ( ) ( ), 0 f x A f x A x x x = = + → 其中(x)是当x → x0时的无穷小. e e d d - > < - < f x A x x ( ) 0, 0, 0 0 恒 有 使得当 时 即有 (x) < e
意义1.将一般极限问题转化为特殊极限向题无穷小); 2给出了函数f(x)在x附近的近似表达式 证∫(x)≈A,误差为a(x) 3无穷小的运算性质: 定理2在同一过程中有限个无穷小的 代数和仍是无穷小 设a及β是当x→时的两个无穷小, VE>0,X,>0,X,>0,使得
意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); ( ) , ( ). 2. ( ) 0 f x A x f x x 误差为 给出了函数 在 附近的近似表达式 3.无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的 代数和仍是无穷小. 证 设及是当x → 时的两个无穷小, e > 0,X1 > 0,X2 > 0,使得
当X>X时恒有aX时恒有X时,恒有 o±阝≤o+B0(x→>∞) 注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 例如n→O时,是无穷小, 但n个之和为1不是无穷小
x X ; 2 1 e 当 > 时恒有 时恒有 X时,恒有 + 2 2 e + e < = e, → 0 (x → ) 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如 时 是无穷小， n n 1 , → , 1 . 1 但 个 之和为 不是无穷小 n n
定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证设函数在U(x0,81)有界, 则彐M>0,81>0,使得当00,382>0,使得当0<x-x0<82时 恒有a< M
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 设函数u在U 0 (x0 ,d1 )内有界， . 0, 1 0, 0 0 1 u M M x x > d > d > < - < d 恒 有 使得当 时
取8=min81,82},则当0x时,·为无穷小 推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小 推论2常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小 例如当x→>0时,xsin-,x2 arctan-都是无穷小
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. min{ , }, 1 2 取 d = d d 则当0 < x - x0 < d时,恒有 u = u M M e < = e, , . 当x → x0时 u 为无穷小 x x x x x 1 , arctan 1 , 0 , sin 例如 当 → 时 2 都是无穷小
二、无穷小的比较 例如,当x→0时, ,x,x2,sinx,x2sin-都是无穷小 x2 观im=0, x比3x要快得多; x→03x 察各极限 sIn r sinx与x大致相同; x→>0x r sin lim x= lim sin不存在不可比 x→>0 x→0 极限不同,反映了趋向于零的“快慢″程度不同
二、无穷小的比较 例如, x x x 3 lim 2 →0 x x x sin lim →0 2 2 0 1 sin lim x x x x→ . 1 0 , , ,sin , sin 当 时 2 2 都是无穷小 x x → x x x x 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 3 ; x 2比 x要快得多 sin x与x大致相同; 不可比. = 0, = 1, x x 1 lim sin →0 = 不存在
定义:设α,B是同一过程中的两个无小且α≠0 (1)如果imp=0,就说B是比a高阶的无穷小, 记作β=0(; (2)如果lmP=C(C≠0,就说B与x是同阶的无穷小 特殊地如果limP=1,则称β与α是等价的无穷小 记作α~β (3)如果mβCC≠0,k>0,就说是a的阶的 无穷小
( ); (1) lim 0, , = = 记作 o 如果 就说 是比 高阶的无穷小 定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且 0. (2) 如果lim = ( 0),就说与是同阶的无穷小; C C ~ ; lim 1, ; = 记作 特殊地 如果 则称 与 是等价的无穷小 . (3) lim ( 0, 0), 无穷小 如果 k C C k 就说是的k阶的 = >